Dane:

$m_p=57\text{g }=0,057\text{kg}$  

$v_p=36\frac{\text{km}}{\text{h}}=36\cdot \frac{1000\text{m}}{3600\text{s}}=10\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$\alpha ={60}^{\circ }$  

$t=1,5\text{ms}=0,0015\text{s}$   

Szukane:

$F=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości średniej siły, z jaką zadziała piłeczka na ścianę podczas zderzenia. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, wartość siły wypadkowej działającej na ciało jest równa szybkości zmian pędu tego ciała:

$F_{\text{wyp.}}=\frac{\Delta p}{\Delta t}$

gdzie:

$F_{\text{wyp.}}$ - wartość siły wypadkowej działającej na ciało, 

$\Delta p$ - zmiana wartości pędu ciała,

$\Delta t$ - czas, w jakim nastąpiła zmiana wartości pędu. 

Wówczas wartość siły, z jaką działa piłeczka na ścianę zapiszemy:

$F=\frac{\Delta p}{t}$

gdzie:

$F$ - wartość siły, z jaką piłeczka działa na ścianę podczas zderzenia,

$\Delta p$ - zmiana wartości pędu piłeczki w kierunku poziomym,

$t$ - czas oddziaływania.

Analizujemy tylko zmianę wartości pędu w kierunku poziomym. Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p=mv$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$\alpha$ - kąt między wektorami prędkości przed i po zderzeniu,

$\vec{v}$ - składowa wektora początkowej prędkości piłki w kierunku poziomym,

${\vec{v}}_p$ - wektor prędkości początkowej piłki,

${\vec{v}}_k$ - wektor prędkości końcowej piłki.

Wówczas korzystając funkcji trygonometrycznych, możemy wyznaczyć składową prostopadłą prędkości, z jaką piłka uderzy w ścianę:

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{v}{v_p}$

gdzie:

$v$ - wartość składowej początkowej prędkości piłeczki w kierunku poziomym,

$v_p$ - wartość początkowej prędkości piłeczki.

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{v}{v_p}|\cdot v_p$

$v_p\cos \frac{\alpha }{2}=v$

$v=v_p\cos \frac{\alpha }{2}$ 

Wartość początkowego pędu piłeczki w kierunku poziomym wyrazimy:

$p_p=m_{p}v$

gdzie:

$p_p$ - początkowa wartość pędu piłeczki w kierunku poziomym,

$m_p$ - masa piłeczki.

Wówczas:

$p_p=m_p{v}_p\cos \frac{\alpha }{2}$

Po odbiciu wektor składowej końcowej prędkości piłeczki jest co do wartości równy wektorowi składowej początkowej prędkości piłeczki. Jednakże ma przeciwny zwrot, uwzględnijmy to w wartości końcowego pędu piłeczki. Wartość końcowego pędu piłeczki w kierunku poziomym wyrazimy:

$p_k=m_p\left(-v\right)$

$p_k$ - wartość końcowego pędu piłeczki w kierunku poziomym.

Zatem:

$p_k=-m_p{v}_p\cos \frac{\alpha }{2}$

Wówczas zmiana wartości pędu piłeczki w kierunku poziomym wyniesie:

$\Delta p=p_p-p_k$

$\Delta p=m_p{v}_p\cos \frac{\alpha }{2}-\left(-m_p{v}_p\cos \frac{\alpha }{2}\right)$

$\Delta p=2m_p{v}_p\cos \frac{\alpha }{2}$

Wówczas wartość siły, z jaką działa piłeczka na ścianę zapiszemy:

$F=\frac{2m_p{v}_p\cos \frac{\alpha }{2}}{t}$

Podstawmy dane liczbowe:

$F=\frac{2\cdot 0,057\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \cos \frac{{60}^{\circ }}{2}}{0,0015\text{s}}=$  

$=\frac{1,14\text{kg }\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \cos {30}^{\circ }}{0,0015\text{s}}=$  

$=\frac{1,14\text{kg }\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 0,866}{0,0015\text{s}}=$  

$=\frac{0,98724\text{kg }\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,0015\text{s}}=$  

$=658,16\text{kg }\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx$

$\approx 700\text{N}$

Odpowiedź: Wartość średniej siły, z jaką zadziała piłeczka na ścianę podczas zderzenia, wynosi $700\text{N}$.