$\mathbf{a})$

 Uzasadnienie: 

Zasada zachowania pędu mówi, że pęd pocisku przed rozerwaniem będzie równy sumie pędów rozerwanych części pocisków.

$\vec{p}={\vec{p}}_1+{\vec{p}}_2$

gdzie:

$\vec{p}$ - początkowy pęd pocisku,

${\vec{p}}_1$ - pęd odłamka spadającego pionowo,

${\vec{p}}_2$ - pęd odłamka odrzuconego w górę.

Na rysunku mamy zaznaczone dwa wektory pędów.

W celu wykonania konstrukcji szukanego wektora ${\vec{p}}_2$ przenosimy odpowiednio wektor ${\vec{p}}_1$.

Teraz rysujemy wektor ${\vec{p}}_2$.

Suma wektorów ${\vec{p}}_2$ i ${\vec{p}}_1$daje wektor $\vec{p}$ - zasada zachowania pędu jest spełniona.

 

 Odpowiedź: 

 

$\mathbf{b})$

Dane:

$m=2\mathrm{kg}$

$v=60\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$m_1=0,5\mathrm{kg}$

$m_2=1,5\mathrm{kg}$

Szukane:

$p_1=\text{?}$

$p_2=\text{?}$

$v_1=\text{?}$

$v_2=\text{?}$

Rozwiązanie:

Odczytujemy z wykresu długości odpowiednich wektorów, korzystając z podanej skali.

$p_1=9\cdot 10\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}=90\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$p=12\cdot 10\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}=120\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość wektora ${\vec{p}}_2$.

$p_2^2=p^2+p_1^2$

$p_2=\sqrt{p^2+p_1^2}$

$p_2=\sqrt{{\left(120\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2+{\left(90\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}=\sqrt{14400\frac{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2\cdot {\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}+8100\frac{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2\cdot {\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}=$

$=\sqrt{22500\frac{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2\cdot {\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}=150\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Wartość pędu wyrażamy jako:

$p=mv$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Stąd:

$v=\frac{p}{m}$

Obliczmy wartości prędkości jakie uzyskały odłamki pocisku po jego rozerwaniu.

$v_1=\frac{p_1}{m_1}$

$v_1=\frac{90\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{0,5\mathrm{kg}}=180\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

oraz:

$v_2=\frac{p_2}{m_2}$

$v_2=\frac{150\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{1,5\mathrm{kg}}=100\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Odpowiedź: C.

 

$\mathbf{c})$

Dane (z poprzedniego podpunktu):

$p=120\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$p_2=150\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Szukane:

$\alpha =\text{?}$

Rozwiązanie:

Szukamy kąta pod jakim odchylony od poziomu jest wektor prędkości drugiego odłamka.

Wektory prędkości będą miały takie same kierunki i zwroty jak odpowiednie wektory pędów. Zatem szukany kąt, jest kątem zaznaczonym na powyższym rysunku.

Korzystamy z zależności trygonometrycznych:

$\cos \alpha =\frac{p}{p_2}$

gdzie:

$\alpha$ - kąt jaki tworzy wektor prędkości ${\vec{v}}_2$ z kierunkiem poziomym,

$p$ - wartość pędu początkowego pocisku,

$p_2$ - wartość pędu drugiego odłamka.

Wykonujemy obliczenia:

$\cos \alpha =\frac{120\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{150\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}}=0,8$

$\alpha \approx 37^{\circ }$

Odpowiedź: Wektor prędkości drugiego odłamka tworzył kąt $37^{\circ }$ z kierunkiem poziomym.