Naszym zadaniem jest wykazanie teoretycznej zależności, którą otrzymali uczniowie w doświadczeniu z poprzedniego zadania, czyli:

$\boxed{f^2=\frac{g}{4{\pi }^{2}m}\cdot \frac{M}{l}}$

gdzie:

$f$ - częstotliwość obrotów gumowego korka, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, 

$\pi$ - liczba π (pi), 

$m$ - masa gumowego korka, 

$M$ - masa metalowej nakrętki, 

$l$ - długość linki, na której porusza się gumowy korek. 

Przeprowadźmy rozumowanie, które doprowadzi nas do tego wzoru. 

Mamy nakrętkę i korek, które pozostają nieruchome w poruszającym się układzie. Na nakrętkę działa siła ciężkości, która jest równoważona przez siłę naciągu linki. Na korek również będzie działała siła ciężkości oraz naciągu linki, przy czym wypadkowa tych sił będzie powodowała ruch korka po okręgu, czyli będzie pełniła rolę siły dośrodkowej. Wykonajmy rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy te siły:

gdzie:

$l$ - długość liny, 

$R$ - promień okręgu, po którym porusza się korek, 

$\alpha$ - kąt jaki linka tworzy z poziomem,

${\vec{F}}_N$ - siła naciągu linki,

${\vec{F}}_{n.k}$ - siła ciężkości korka,

${\vec{F}}_{c.n}$ - siła ciężkości nakrętki,

${\vec{F}}_d$ - siła dośrodkowa (wypadkowa siły ciężkości korka i naciągu liny).

Wartość siły ciężkości korka możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{c.k}=mg$ 

gdzie:

$F_{c.k}$ - wartość siły ciężkości korka,

$m$ - masa korka, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Wartość siły ciężkości nakrętki możemy obliczyć ze wzoru:

$F_{c.n}=Mg$

gdzie:

$F_{c.n}$ - wartość siły ciężkości nakrętki,

$M$ - masa nakrętki. 

Ze względu na fakt, że naciągu liny jest równoważona przez siłę ciężkości nakrętki otrzymamy, że jej wartość wynosi:

$F_N=F_{c.n}$

$F_N=Mg$

Wartość siły dośrodkowej możemy przedstawić wzorem:

$F_d=\frac{m{v}^2}{R}$

gdzie:

$F_d$ - wartość siły dośrodkowej działającej na ciało, 

$m$ - masa ciała poruszającego się po okręgu, 

$v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu, 

$R$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało. 

W naszym przypadku nie znamy szybkości liniowej, z jaką porusza się korek, a chcemy wyznaczyć zależność na kwadrat jego częstotliwości. Dlatego możemy skorzystać ze wzoru na wartość prędkości liniowej w ruchu po okręgu zależnego od częstotliwości:

$v=2\pi Rf$

gdzie:

$\pi$ - liczba π (pi), 

$f$ - częstotliwość.

Korzystając z podobieństwa trójkątów (kąt, bok, kąt) możemy zapisać, że:

$\frac{R}{l}=\frac{F_d}{F_N}$

$\frac{R}{l}=\frac{\frac{m{v}^2}{R}}{Mg}$

$\frac{R}{l}=\frac{m{v}^2}{MgR}$

$\frac{R}{l}=\frac{m{\left(2\pi Rf\right)}^2}{MgR}$

$\frac{R}{l}=\frac{m\cdot 4{\pi }^2{R}^{\cancel{2}}{f}^2}{Mg\cancel{R}}$

$\frac{\cancel{R}}{l}=\frac{m\cdot 4{\pi }^2\cancel{R}{f}^2}{Mg}|\cdot Mg$

$\frac{Mg}{l}=4{\pi }^{2}m{f}^2|:4{\pi }^{2}m$

$\frac{Mg}{4{\pi }^{2}ml}=f^2$

Otrzymamy wówczas wzór:

$f^2=\frac{g}{4{\pi }^{2}m}\cdot \frac{M}{l}$

Co należało wyznaczyć!