Dane:

$v=54\frac{\text{km}}{\text{h}}=54\cdot \frac{1000\text{m}}{3600\text{s}}=15\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$d=20\text{m}$  

$\mu =0,7$  

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

W którym przypadku przeszkoda pozostanie nienaruszona?

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest odpowiedź na pytanie, w którym przypadku przeszkoda zostanie nienaruszana, czy gdy kierowca będzie gwałtownie hamował na prostej drodze, czy pojedzie łukiem bez zmiany szybkości. Zatem rozważamy dwa przypadki.

▶ I PRZYPADEK - gwałtowne hamowanie

W tym przypadku musimy wyznaczyć drogę hamowania samochodu. Zacznijmy od wyznaczenia wartości przyspieszenia (opóźnienia) z jakim powinien poruszać się samochód, aby zatrzymał się. Zapiszmy równanie sił działających na samochód wynikające z II zasady dynamiki Newtona dla tego przypadku:

$ma=T$  

gdzie:

$T$  - wartość siły tarcia (spełniająca w tym przypadku rolę wypadkowej siły działającej na samochód),

$m$  - masa samochodu, 

$a$  - wartość przyspieszenia (w tym przypadku opóźnienie), z jakim się porusza. 

Wartość siły tarcia możemy wyrazić jako iloczyn współczynnika tarcia oraz wartości siły nacisku. W naszym przypadku nacisk odpowiada ciężarowi samochodu. Wówczas prawidłowy jest wzór:

$T=\mu F_g$  

gdzie:

$\mu$  - współczynnik tarcia,

$F_g$  - wartość siły ciężkości.

Wartość siły ciężkości możemy przedstawić wzorem:

$F_g=mg$  

gdzie:

$m$  - masa samochodu,

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Wyznaczmy wartość przyspieszenia:

$ma=T$

$ma=\mu F_g$

$\cancel{m}a=\mu \cancel{m}g$

$a=\mu g$

Teraz korzystając z wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym (opóźnionym) wyznaczamy drogę hamowania samochodu:

$s=vt-\frac{1}{2}a{t}^2$  

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez samochód w czasie hamowania,

$v$ - wartość prędkości początkowej samochodu,

$t$  - czas hamowania samochodu.

Korzystając z definicji przyspieszenia czas hamowania możemy wyrazić jako:

$t=\frac{v}{a}$  

Wówczas otrzymujemy, że drogę hamowania samochodu wyrazimy wzorem:

$s=vt-\frac{1}{2}a{t}^2$

$s=v\cdot \frac{v}{a}-\frac{1}{2}a\cdot {\left(\frac{v}{a}\right)}^2$

$s=\frac{v^2}{a}-\frac{1}{2}\cancel{a}\cdot \frac{v^2}{a^{\cancel{2}}}$

$s=\frac{v^2}{a}-\frac{v^2}{2a}$

$s=\frac{2v^2}{2a}-\frac{v^2}{2a}$

$s=\frac{v^2}{2a}$

$s=\frac{v^2}{2\mu g}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$s=\frac{{\left(15\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{2\cdot 0,7\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{225\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{13,734\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}\approx 16,4\text{m}$  

Z tego wynika, że droga hamowania samochodu jest krótsza niż odległość samochodu od pachołka:

$s<d$  

Wówczas w tym przypadku przeszkoda pozostanie nienaruszona.

▶ II PRZYPADEK - zjazd łukiem po okręgu.

W tym przypadku samochód musi wykonać manewr ruchu po okręgu. Musimy wyznaczyć najmniejszą wartość promienia okręgu, dla którego samochód nie uderzy w przeszkodę. Oznacza to, że siła tarcia samochodu o podłoże spełnia rolę siły dośrodkowej, której wartość możemy przedstawić wzorem:

$F_d=\frac{m{v}^2}{R}$  

gdzie:

$m$  - masą ciała poruszającego się po okręgu,

$v$  - wartość prędkości liniowej ciała, 

$R$  - promień okręgu.

Zatem skoro to siła tarcia spełnia rolę siły dośrodkowej to otrzymujemy równanie, z którego możemy wyznaczyć promień okręgu:

$T=F_{\text{d}}$

$\mu F_g=F_{\text{d}}$

$\mu \cancel{m}g=\frac{\cancel{m}{v}^2}{R}|\cdot R$

$\mu gR=v^2|:\mu g$

$R=\frac{v^2}{\mu g}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R=\frac{{\left(15\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{0,7\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{225\frac{{\text{m}}^{\cancel{2}}}{\cancel{{\text{s}}^2}}}{6,867\cancel{\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}\approx 32,8\text{m}$

Widzimy, że minimalny promień skrętu jest większy niż odległość od przeszkody:

$R>d$   

Oznacza to, że samochód nie zdąży wykonać tego manewru i uderzy w przeszkodę.

Odpowiedź: Przeszkoda zostanie nienaruszona gdy samochód będzie gwałtownie hamował na prostej.