$\mathbf{a})$

Zadaniem naszym jest wykazanie, że wartość współczynnika tarcia kinetycznego ciała zjeżdżającego z pochylni możemy zapisać wzorem:

$\frac{h}{L}$

gdzie:

$h$ - wysokość równi,

$L$ - długość podstawy równi pochyłej.

Mamy przyjąć, że klocek na pochylni poruszał się ruchem jednostajnym. Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona wiemy, że jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub wszystkie siły działające na ciało się równoważą, to ciało porusza się ruchem jednostajnym lub spoczywa. Interesuje nas wartość współczynnika tarcia kinetycznego, zatem na klocek na pewno działa siła tarcia kinetycznego. Wyciągamy z tego wniosek, że wszystkie siły działające na klocek muszą się równoważyć. Rozważmy teraz wszystkie siły działające na klocek.

Na klocek działa siła ciężkości ${\vec{F}}_g$ zwrócona pionowo w dół. Zauważmy, że siłę tę możemy rozłożyć na dwie składowe:

• składową równoległą ${\vec{F}}_{\parallel }$ do powierzchni pochylni,
• składową prostopadłą ${\vec{F}}_{\perp }$ do powierzchni pochylni.

Wykonujemy rysunek pomocniczy i oznaczamy wektory tych sił.

Klocek działa na podłoże pochylni z siłą nacisku ${\vec{F}}_N$. Wartość tej siły na płaskim podłożu jest równa wartości siły ciężkości. Jednak w przypadku pochylni wartość siły nacisku jest równa wartości siły składowej ${\vec{F}}_{\perp }$ siły ciężkości:

$F_N=F_{\perp }$

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona, skoro klocek działa na pochylnię, to pochylnia działa na klocek z siłą o tej samej wartości i tym samym kierunku, ale przeciwnym zwrocie i innym punkcie przyłożenia. Siłę tą nazywamy siłą reakcji podłoża ${\vec{F}}_R$. Zapiszemy więc:

$F_R=F_N$

Rysujemy wektory tych sił na rysunku pomocniczym:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie wzoru na wartość współczynnika tarcia kinetycznego. Przyjmujemy więc, że na zjeżdżający klocek działa siła tarcia kinetycznego, której wartość opisuje wzór:

$F_T=\mu F_N$

gdzie:

$F_T$ - wartość siły tarcia,

${\mu }_k$ - wartość współczynnika tarcia kinetycznego,

$F_N$ - wartość siły nacisku.

Z naszych rozważań wiemy, że:

$F_N=F_{\perp }$

Wówczas:

$F_T={\mu }_k{F}_{\perp }$

Przyjęliśmy, że klocek porusza się ruchem jednostajnym, zatem wszystkie siły działające na klocek muszą się równoważyć. W kierunku prostopadłym do powierzchni pochylni siły te się równoważą:

$F_R=F_N$

Natomiast interesuje nas teraz warunek równoważenia się sił w kierunku równoległym do powierzchni pochylni. Korzystając z rysunku, zapiszemy:

$F_{\parallel }=F_T$

Wówczas:

$F_{\parallel }={\mu }_k{F}_{\perp }|:F_{\perp }$

$\frac{F_{\parallel }}{F_{\perp }}={\mu }_k$

${\mu }_k=\frac{F_{\parallel }}{F_{\perp }}$

Wracamy do rysunku pomocniczego i korzystając z podobieństwa trójkątów, oznaczamy:

Korzystając z funkcji trygonometrycznych, zapiszemy:

$\frac{F_{\parallel }}{F_{\perp }}=\mathrm{tg}\alpha$

Wówczas:

${\mu }_k=\mathrm{tg}\alpha$

Z rysunku odczytujemy również, że:

$\frac{h}{L}=\mathrm{tg}\alpha$

Ostatecznie otrzymujemy:

${\mu }_k=\frac{h}{L}$

 

$\mathbf{b})$

 Uzasadnienie: 

Zadaniem naszym jest uzupełnienie pustych komórek tabeli, w których musimy wpisać wartości współczynnika tarcia.

Nr pomiaru	Wysokość równi $h\left[\text{cm}\right]$	Długość podstawy równi $L\left[\text{cm}\right]$	Współczynnik tarcia ${\mu }_k$
$1$	$26,5$	$80,0$
$2$	$27,0$	$82,0$
$3$	$25,5$	$77,5$
$4$	$26,5$	$85,0$
$5$	$26,0$	$83,5$
Średnia wartość współczynnika tarcia kinetycznego

 W podpunkcie $\mathbf{a})$ wyznaczyliśmy wzór na wartość współczynnika tarcia kinetycznego:

${\mu }_k=\frac{h}{L}$

gdzie:

${\mu }_k$ - wartość współczynnika tarcia kinetycznego,

$h$ - wysokość równi,

$L$ - długość podstawy równi.

Odczytujemy poszczególne wartości z tabeli i wyznaczamy wartości współczynników tarcia:

▶ Pomiar 1

${\mu }_1=\frac{26,5\text{cm}}{80,0\text{cm}}=0,33125\approx 0,331$

▶ Pomiar 2

${\mu }_2=\frac{27,0\text{cm}}{82,0\text{cm}}\approx 0,329$

▶ Pomiar 3

${\mu }_3=\frac{25,5\text{cm}}{77,5\text{cm}}\approx 0,329$

▶ Pomiar 4

${\mu }_4=\frac{26,5\text{cm}}{85,0\text{cm}}\approx 0,312$

▶ Pomiar 5

${\mu }_5=\frac{26,0\text{cm}}{83,5\text{cm}}\approx 0,311$

Teraz przejdziemy do wyznaczenia średniej. Przyjmujemy, że średnią, którą mamy wyznaczyć jest średnia arytmetyczna. Wzór na średnią arytmetyczną przyjmuje postać:

$x_{\text{sˊr}}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

gdzie:

$x_1,\dots ,x_i$ - wyniki wykonanych pomiarów,

$n$ - liczba pomiarów

 W naszym przypadku zapiszemy:

${\mu }_{\text{sˊr}}=\frac{{\mu }_1+{\mu }_2+{\mu }_3+{\mu }_4+{\mu }_5}{5}$

Podstawiamy dane i obliczamy:

${\mu }_{\text{sˊr}}=\frac{0,331+0,329+0,329+0,312+0,311}{5}=$

$=\frac{0,66+0,641+0,311}{5}=$

$=\frac{1,301+0,311}{5}=$

$=\frac{1,612}{5}=0,3224\approx 0,322$

 Odpowiedź:

Uzupełniamy puste miejsca w tabeli:

Nr pomiaru	Wysokość równi $h\left[\text{cm}\right]$	Długość podstawy równi $L\left[\text{cm}\right]$	Współczynnik tarcia ${\mu }_k$
$1$	$26,5$	$80,0$	$0,331$
$2$	$27,0$	$82,0$	$0,329$
$3$	$25,5$	$77,5$	$0,329$
$4$	$26,5$	$85,0$	$0,312$
$5$	$26,0$	$83,5$	$0,311$
Średnia wartość współczynnika tarcia kinetycznego			$0,322$

 

 

$\mathbf{c})$

Szukane:

$\Delta {\mu }_k=\text{?}$

$\frac{\Delta {\mu }_k}{{\mu }_{\text{sˊr}}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie niepewności maksymalnej wartości średniej oraz niepewność względną. Zauważmy, że niepewność maksymalną wyznaczamy ze wzoru:

$\Delta x_{\text{sˊr}}=\frac{x_{\max }-x_{\min }}{2\sqrt{n}}$

gdzie:

$\Delta x_{\text{sˊr}}$ - maksymalna niepewność pomiarowa średniej,

$x_{\max }$ - największa zmierzona wartość wielkości $x$,

$x_{\min }$ - najmniejsza zmierzona wartość wielkości $x$,

$n$ - liczba wykonanych pomiarów.

Z uzupełnionej w podpunkcie $\mathbf{b})$ tabeli odczytujemy:

${\mu }_{\text{sˊr}}=0,322$

${\mu }_{\max }=0,331$

${\mu }_{\min }=0,311$

oraz:

$n=5$

Wówczas:

$\Delta {\mu }_{\text{sˊr}}=\frac{{\mu }_{\max }-{\mu }_{\min }}{2\sqrt{n}}$

Podstawiamy dane do wzoru:

$\Delta {\mu }_{\text{sˊr}}=\frac{0,331-0,311}{2\cdot \sqrt{5}}=$

$\approx \frac{0,02}{2\cdot 2,24}=\frac{0,02}{4,48}\approx 0,004$

Zapisujemy ostateczny wynik:

${\mu }_{\text{sˊr}}\pm \Delta {\mu }_{\text{sˊr}}=0,322\pm 0,004$

Dodatkowo zadaniem naszym jest wyznaczenie niepewności względnej, którą obliczamy ze wzoru:

$\delta =\frac{\Delta x_{}}{x}$

gdzie:

$\delta$ - niepewność względna,

$\Delta x$ - niepewność bezwzględna,

$x$ - zmierzona wartość.

W naszym przypadku mamy:

${\delta }_{\mu }=\frac{\Delta {\mu }_{\text{sˊr}}}{{\mu }_{\text{sˊr}}}$

Podstawiamy dane i obliczamy:

${\delta }_{\mu }=\frac{0,004}{0,322}\approx 0,012\approx 1,2\%$

Odpowiedź: Maksymalny błąd względny wynosi około $0,004$, natomiast niepewność względna wynosi około $1,2\%$.