Dane:

▶ długość fali w powietrzu: ${\lambda }_p=400\text{nm}$,

▶ zależność między wartością prędkości światła w wodzie i w powietrzu: $v_w=\frac{c}{1,3}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość prędkości światła w próżni i powietrzu: $c=300000\frac{\text{km}}{\text{s}}$.

Szukane:

▶ długość fali w wodzie: ${\lambda }_w=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie długości fali światła fioletowego w wodzie.

Długość fali możemy przedstawić wzorem:

$\lambda =\frac{v}{f}$ 

gdzie:

$\lambda$ - długość fali,

$v$ - wartość prędkości, z jaką rozchodzi się fala,

$f$ - częstotliwość rozchodzącej się fali.

Podczas przechodzenia światła do innego ośrodka, częstotliwość fali nie ulega zmianie, zatem fala rozchodząca się w powietrzu i w wodzie ma taką samą częstotliwość.

Przekształćmy powyższą zależność aby uzyskać wzór na częstotliwość.

$\lambda =\frac{v}{f}|\cdot f$

$\lambda \cdot f=v|:\lambda$

$f=\frac{v}{\lambda }$

Zapiszmy wzór na częstotliwość fali rozchodzącej się w powietrzu, pamiętając, że w powietrzu fala ma długość: ${\lambda }_p$ oraz rozchodzi się z szybkością światła, zatem dla powietrza $v=c$:

$f=\frac{c}{{\lambda }_p}$

Następnie zapiszmy wzór na częstotliwość fali rozchodzącej się w wodzie, pamiętając, że w wodzie fala ma długość: ${\lambda }_w$ oraz rozchodzi się z szybkością $v_w$:

$f=\frac{v_w}{{\lambda }_w}$.

Skoro obie częstotliwości są takie same, to możemy porównać prawe strony powyższych wzorów na częstotliwość fal w powietrzu i w wodzie:

$\frac{c}{{\lambda }_p}=\frac{v_w}{{\lambda }_w}$

Mnożymy na krzyż:

$c\cdot {\lambda }_w={\lambda }_p\cdot v_w|:c$

${\lambda }_w=\frac{{\lambda }_p\cdot v_w}{c}$

Zadanie podaje zależność między wartością prędkości światła w wodzie i w powietrzu:

$v_w=\frac{c}{1,3}$

Podstawiamy i obliczamy:

$v_w=\frac{300000\frac{\text{km}}{\text{s}}}{1,3}=230769\frac{\text{km}}{\text{s}}$

Mamy wszystkie wielkości potrzebne do obliczenia długości fali w wodzie.

Podstawiamy i obliczamy:

${\lambda }_d=\frac{400\text{nm}\cdot 230769\cancel{\frac{\text{km}}{\text{s}}}}{300000\cancel{\frac{\text{km}}{\text{s}}}}=\frac{923076\cancel{00}\text{nm}}{3000\cancel{00}}=$

     $=\frac{923076\text{nm}}{3000}=307,692\text{nm}\approx 308\text{nm}$

Odpowiedź: Długość fali światła fioletowego w wodzie wynosi $308\text{nm}$.