Dane:

$n=33$

$t=1\text{min}=60\text{s}$

$r_1=5\text{cm}=0,05\mathrm{m}$

$r_2=7\text{cm}=0,07\mathrm{m}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$.

Szukane:

$\Delta s=\text{?}$

$a_{\text{d}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zauważmy, że każda z mrówek porusza się po okręgu, którego promień jest równy odległości mrówki od osi obrotu. Oznacza to, że droga przebyta przez mrówkę jest równa obwodowi okręgu, którego opisuje wzór:

$L=2\pi r$

gdzie:

$L$ - obwód okręgu,

$\pi$ - liczba pi,

$r$ - promień okręgu.

Interesuje nas droga jaką mrówka pokonała w trakcie jednego obrotu płyty, zatem zapisujemy, że drogę przebytą przez mrówką pierwszą opisuje wzór:

$s_1=2\pi r_1$

Natomiast drogę przebytą przez mrówkę drugą opisuje wzór:

$s_2=2\pi r_2$

Zauważmy, że w czasie jednego obrotu płyty winylowej zarówno mrówka pierwsza jak i druga przebywają drogi równe długości okręgu, po których się poruszają. Mrówka druga jest położona w większej odległości od osi, zatem promień okręgu po jakim się porusza jest większy, a co za tym idzie, droga jaką pokona jest większa. Wzór na różnicę dróg jakie mrówki pokonują po jednym obrocie płyty przyjmuję postać:

$\Delta s=s_2-s_1$

$\Delta s=2\pi r_2-2\pi r_1$

$\Delta s=2\pi \left(r_2-r_1\right)$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$\Delta s=2\cdot 3,14\cdot \left(07\text{cm}-5\text{cm}\right)=6,28\cdot 2\text{cm}=12,56\text{cm}\approx 12,6\mathrm{cm}$

Przechodzimy do wyznaczenia przyspieszenia dośrodkowego mrówki siedzącej dalej od osi.

Wartość przyspieszenia dośrodkowego ciała w ruchu jednostajnym po okręgu jest stała i przedstawiamy ją wzorem:

$a_d=\frac{v^2}{r}$

gdzie:

$a_d$ - wartość przyspieszenia dośrodkowego,

$v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu,

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Zauważmy, że prędkość liniową w ruchu po okręgu obliczamy ze wzoru:

$v=2\pi rf$

gdzie:

$v$ - prędkość liniowa,

$\pi$ - liczba pi,

$r$ - promień okręgu,

$f$ - częstotliwość.

Natomiast częstotliwość możemy przedstawić jako iloraz liczby obrotów do całkowitego czasu trwania ruchu:

$f=\frac{n}{t}$

gdzie:

$f$ - częstotliwość,

$n$ - liczba obrotów,

$t$ - czas ruchu.

Wracamy do wzoru na przyspieszeni dośrodkowe i wprowadzamy powyższe wzory:

$a_{\text{d}}=\frac{v^2}{r}$

$a_{\text{d}}=\frac{(2\pi rf{)}^2}{r}$

$a_{\text{d}}=\frac{4{\pi }^2{r}^{{\cancel{2}}^1}{f}^2}{\cancel{r}}$

$a_{\text{d}}=4{\pi }^{2}r{\left(\frac{n}{t}\right)}^2$

$a_{\text{d}}=4{\pi }^2\frac{r{n}^2}{t^2}$

W naszm przypadku interesuje nas przyspieszenie dośrodkowe mrówki drugiej, czyli mrówki położonej dalej od osi:

$a_{{\text{d}}_2}=4{\pi }^2\frac{r_2{n}^2}{t_2}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$a_{{\text{d}}_2}=4\cdot (3,14{)}^2\cdot \frac{0,07\mathrm{m}\cdot 33^2}{(60\mathrm{s}{)}^2}=$

$=4\cdot 9,8596\cdot \frac{0,07\cdot 1089\mathrm{m}}{3600{\mathrm{s}}^2}=$

$=39,4384\cdot \frac{76,23}{3600}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}=$

$=\frac{39,4384\cdot 76,23}{3600}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}=$

$\approx \frac{3006}{3600}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\approx 0,84\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

Odpowiedź: Różnica dróg wynosi około 12,6 cm, a przyspieszenie dośrodkowe mrówki siedzącej dalej od osi wynosi około 0,84 ^m/_s².