$\mathbf{a})$

 Uzasadnienie: 

W treści zadania mamy podane wymiary boiska:

▶ długość: $a=70\mathrm{m}$

▶ szerokość: $b=110\mathrm{m}$

Zadaniem naszym jest narysowanie boiska w skali. Nie mamy podanej w jakiej dokładnie skali, a więc mamy dowolność wyboru. Zatem zakładamy, że 1 kratka (0,5 cm) odpowiada długości 10 m w rzeczywistości:

$1\text{kratka}\text{——–}10\text{m}$

Wówczas, korzystając z metody proporcji, zapiszemy:

$110\text{m}\text{——–}11\text{kratek}$

$70\text{m}\text{——–}7\text{kratek}$

Rysujemy boisko:

Teraz przechodzimy do rysowania poszczególnych wektorów przemieszczenia.

Wektor przemieszczenia Kuby

Kuba przebiegł boisko po najkrótszej drodze, czyli między przeciwległymi narożnikami. Oznacza to, że położenie początkowe Kuby znajdowało się w jednym z narożników, przykładowo w lewym dolnym, a położenie końcowe w prawym górnym:

Rysujemy więc wektor przemieszczenia Kuby, którego początek znajduję się w położeniu początkowym, a koniec w położeniu końcowym:

Wektor przemieszczenia Roberta

Robert przebiegł boisko w inny sposób, ale między tymi samymi puntami, czyli położenie początkowe i końcowe Kuby oraz Roberta są takie same:

W pierwszym etapie ruchu Robert pobiegł wzdłuż linii końcowej boiska, czyli od lewego dolnego rogu do prawego dolnego:

Następnie wzdłuż linii bocznej, czyli od prawego dolnego rogu do prawego górnego:

Zauważmy jednak, że zadaniem naszym jest narysowanie wektorów całkowitego przemieszczenia piłkarzy, czyli wektora między położeniem początkowym, a położeniem końcowym. Jeżeli więc położenie początkowe i końcowe każdego z chłopców jest takie samo to wyciągamy wniosek, że wektor całkowitego przemieszczenia dla Kuby i Roberta jest taki sam, czyli pomiędzy przeciwległymi narożnikami:

 Odpowiedź: 

Rysujemy wektory całkowitego przemieszczenia piłkarzy:

 

$\mathbf{b})$

Dane:

$a=70\mathrm{m}$

$b=110\mathrm{m}$

Szukane:

O ile procent droga jaką przebył Robert jest dłuższa od drogi przebytej przez Kubę?

Rozwiązanie:

Z podpunktu a) wiemy, że całkowity wektor przemieszczenia każdego z piłkarzy jest taki sam. Jednak droga jaką pokonał dany piłkarz będzie się różnic, ponieważ droga jest równa długości toru ruchu danego piłkarza, a jak wiemy z treści zadania to tor ruchu Kuby różni się od toru ruchu Roberta:

Droga przebyta przez Kubę

W pierwszej kolejności wyznaczymy wzór na drogę jaką pokonał Kuba. Zauważmy, że droga ta jest równa długości przekątnej prostokąta, którą opisujemy wzorem:

$d=\sqrt{a^2+b^2}$

gdzie:

$d$ - długość przekątnej prostokąta,

$a,b$ - wymiary prostokąta.

Zapisujemy więc, że wzór na drogę przebytą przez Kubę przyjmuję postać:

$s_{\text{Kuba}}=\sqrt{a^2+b^2}$

Droga przebyta przez Roberta

Z rysunku odczytujemy, że tor ruchu Roberta składa się z dwóch odcinków, których długość jest równa wymiarom prostokąta. Zapiszemy więc, że wzór na drogę przebytą przez Roberta przyjmuję postać:

$s_{\text{Robert}}=a+b$

Teraz przechodzimy do obliczenia o ile procent droga przebyta przez Roberta jest dłuższa od drogi pokonanej przez Kubę. Jeżeli wielkość $y$ jest większa od $x$ o $k$ procent to wówczas:

$y=x+kx$

W naszym przypadku interesuje nas o ile procent dłuższa jest droga przebyta przez Roberta od drogi przebytej przez Kubę. Korzystając z powyższego wzoru zapiszemy więc:

$s_{\text{Robert}}=s_{\text{Kuba}}+k{s}_{\text{Kuba}}$

Przekształcamy powyższą zależność tak, aby wyznaczyć wzór na $k$:

$s_{\text{Kuba}}+k{s}_{\text{Kuba}}=s_{\text{Robert}}$

$s_{\text{Kuba}}(1+k)=s_{\text{Robert}}|:s_{\text{Kuba}}$

$1+k=\frac{s_{\text{Robert}}}{s_{\text{Kuba}}}|-1$

$k=\frac{s_{\text{Robert}}}{s_{\text{Kuba}}}-1$

$k=\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}-1$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$k=\frac{70\mathrm{m}+110\mathrm{m}}{\sqrt{(70\mathrm{m}{)}^2+(110\mathrm{m}{)}^2}}-1=\frac{180\mathrm{m}}{\sqrt{4900{\mathrm{m}}^2+12100{\mathrm{m}}^2}}-1=$

$=\frac{180\mathrm{m}}{\sqrt{17000}\sqrt{{\mathrm{m}}^2}}-1=\frac{180\cancel{\mathrm{m}}}{\sqrt{100\cdot 170}\cancel{\mathrm{m}}}-1=$

$=\frac{18\cancel{0}}{\cancel{10}\sqrt{170}}-1=\frac{18}{\sqrt{170}}\cdot \frac{\sqrt{170}}{\sqrt{170}}-1=$

$=\frac{18\sqrt{170}}{170}-1\approx \frac{18\cdot 13}{170}-1=$

$=\frac{234}{170}-1\approx 1,38-1=0,38$

Ostatecznie zapiszemy:

$k\approx 38\%$

Odpowiedź: Droga przebyta przez Roberta jest o około 38% większa od drogi przebytej przez Kubę.