Dane:

$h=4\text{cm}$  

$f=20\text{cm}$  

Szukane:

$y=?$  

$H=?$  

Rozwiązanie: 

$\text{a)}$  

▶ Wykonujemy konstrukcję.

W tym przypadku odległość przedmiotu od soczewki wynosi:

$x=30\text{cm}$  

Podana ogniskowa jest dodatnia, dlatego możemy przyjąć, że mamy do czynienia z soczewką skupiającą.

Wykonajmy rysunek, na którym zaznaczamy oś optyczną, soczewkę, ogniska i przedmiot:

Konstruujemy obraz przedmiotu. Zaczynamy od narysowania promienia równoległego do osi optycznej, który po przejściu przez soczewkę skupia się w ognisku:

Następnie rysujemy promień przechodzący przez środek soczewki:

Zauważmy, że promienie te nie przecinają się. Zatem musimy narysować ich przedłużenia:

Punkt przecięcia się przedłużeń promieni świetlnych będzie odpowiadał miejscu, gdzie powstaje wierzchołek obrazu:

Z wykonanej konstrukcji wynika, że obraz powstał w odległości około 6,7 kratki od soczewki. Z metody proporcji wynika, że skoro 2 kratki odpowiadają 2 cm to 1 kratka odpowiada 1 cm. Wówczas odległość obrazu od soczewki wynosi około 6,5 cm:

$y=6,5\text{cm}\approx 7\text{cm}$  

Skoro obraz na rysunku jest wysoki na około 5,3 kratki to jego wysokość będzie równa:

$H=5,3\text{cm}\approx 5\text{cm}$  

Odpowiedź: Na podstawie rysunku otrzymujemy, że odległość obrazu od soczewki wynosi około 6,5 cm, a jego wysokość to około 5,3 cm. 

▶ Wykonajmy obliczenia za pomocą równania soczewki. 

Równanie soczewki, gdy jest ona skupiająca ma postać:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\mid \cdot xyf$  

$\frac{xyf}{f}=\frac{xyf}{x}+\frac{xyf}{y}$  

$xy=yf+xf\mid -yf$  

$xy-yf=xf$  

$\left(x-f\right)y=xf\mid :\left(x-f\right)$  

$y=\frac{xf}{x-f}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$y=\frac{5\text{cm}\cdot 20\text{cm}}{5\text{cm}-20\text{cm}}=\frac{100{\text{cm}}^2}{-15\text{cm}}=-\frac{20}{3}\text{cm}\approx -6,67\text{cm}\approx -7\text{cm}$  

Ujemny wynik świadczy o tym, że powstały obraz jest pozorny.

Powiększenie obrazu można wyrazić poprzez zależność:

$p=\frac{\left|y\right|}{x}$  

gdzie:

$x$  - odległość przedmiotu od soczewki,

$y$  - odległość obrazu od soczewki.

Ponadto powiększenie obrazu można wyrazić poprzez zależność:

$p=\frac{H}{h}$  

gdzie:

$h$  - wysokość przedmiotu,

$H$  - wysokość obrazu.

Zatem wysokość powstałego obrazu będzie wynosiła:

$\frac{H}{h}=\frac{\left|y\right|}{x}\mid \cdot h$  

$H=\frac{\left|y\right|}{x}\cdot h$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$H=\frac{\left|-\frac{20}{3}\text{cm}\right|}{5\text{cm}}\cdot 4\text{cm}=\frac{\frac{20}{3}\text{cm}}{5\text{cm}}\cdot 4\text{cm}=\frac{4}{3}\cdot 4\text{cm}=$  

$=\frac{16}{3}\text{cm}\approx 5,33\text{cm}\approx 5\text{cm}$  

Odpowiedź: Na podstawie równania soczewki oraz wzorów na powiększenie obrazu otrzymujemy, że odległość obrazu od soczewki wynosi około 6,67 cm, a jego wysokość to około 5,33 cm. 

WNIOSEK: Wyniki otrzymane obiema metodami są w przybliżeniu do całości sobie równe. Dokładniejszy wynik otrzymujemy za pomocą równania soczewki i wzorów na powiększenie. 

 

$\text{b)}$  

▶ Wykonujemy konstrukcję.

W tym przypadku odległość przedmiotu od soczewki wynosi:

$x=40\text{cm}$  

Podobnie, jak w poprzednim podpunkcie zaczynamy od narysowania osi optycznej, soczewki, zaznaczenia ognisk i przedmiotu:

Konstruujemy promienie: równoległy do osi optycznej oraz przechodzący przez środek soczewki.

Rysujemy przedłużenia tych promieni i w miejscu ich przecięcia wyznaczamy obraz przedmiotu:

Obraz powstał w ognisku soczewki, czyli odległość obrazu od soczewki wynosi:

$y=20\text{cm}$  

Na rysunku 2 kratki to 2 cm, czyli 1 kratka to 1 cm. Obraz jest wysoki na 8 kratek. Oznacza to, że jego wysokość wynosi:

$H=8\text{cm}$  

Odpowiedź: Na podstawie rysunku otrzymujemy, że odległość obrazu od soczewki wynosi 20 cm, a jego wysokość to 8 cm. 

▶ Wykonajmy obliczenia za pomocą równania soczewki. 

Zgodnie ze wzorem wykazanym w podpunkcie a) otrzymujemy, że odległość obrazu od soczewki wynosi:

$y=\frac{xf}{x-f}$  

$y=\frac{10\text{cm}\cdot 20\text{cm}}{10\text{cm}-20\text{cm}}=\frac{200{\text{cm}}^2}{-10\text{cm}}=-20\text{cm}$  

Ujemny wynik świadczy o tym, że powstały obraz jest pozorny.

Natomiast wysokość obrazu wynosi:

$H=\frac{\left|y\right|}{x}\cdot h$  

$H=\frac{\left|-20\text{cm}\right|}{10\text{cm}}\cdot 4\text{cm}=\frac{20\text{cm}}{10\text{cm}}\cdot 4\text{cm}=2\cdot 4\text{cm}=8\text{cm}$  

Odpowiedź: Na podstawie równania soczewki oraz wzorów na powiększenie obrazu otrzymujemy, że odległość obrazu od soczewki wynosi 20 cm, a jego wysokość to 8 cm. 

WNIOSEK: Wyniki otrzymane obiema metodami są takie same. 

 

$\text{c)}$  

▶ Wykonujemy konstrukcję.

W tym przypadku odległość przedmiotu od soczewki wynosi:

$x=15\text{cm}$  

Podobnie, jak w wcześniej zaczynamy od narysowania osi optycznej, soczewki, zaznaczenia ognisk i przedmiotu. Następnie konstruujemy promienie, ich przedłużenia i obraz przedmiotu:

W tym przypadku 2 kratki odpowiadają 4 cm. Odległość obrazu od soczewki wynosi 30 kratek. Zatem z metody proporcji otrzymamy:

$2\text{kratki}\frac{}{}4\text{cm}$  

$30\text{kratek}\frac{}{}y$  

Zatem:

$y=\frac{30\text{kratek}}{2\text{kratki}}\cdot 4\text{cm}=15\cdot 4\text{cm}=60\text{cm}$  

Wysokość obrazu na rysunku to 8 kratek, czyli:

$2\text{kratki}\frac{}{}4\text{cm}$  

$8\text{kratek}\frac{}{}H$  

Zatem:

$H=\frac{8\text{kratek}}{2\text{kratki}}\cdot 4\text{cm}=4\cdot 4\text{cm}=16\text{cm}$  

Odpowiedź: Na podstawie rysunku otrzymujemy, że odległość obrazu od soczewki wynosi 60 cm, a jego wysokość to 16 cm. 

▶ Wykonajmy obliczenia za pomocą równania soczewki. 

Zgodnie ze wzorem wykazanym w podpunkcie a) otrzymujemy, że odległość obrazu od soczewki wynosi:

$y=\frac{xf}{x-f}$  

$y=\frac{15\text{cm}\cdot 20\text{cm}}{15\text{cm}-20\text{cm}}=\frac{300{\text{cm}}^2}{-5\text{cm}}=-60\text{cm}$  

Ujemny wynik świadczy o tym, że powstały obraz jest pozorny.

Natomiast wysokość obrazu wynosi:

$H=\frac{\left|y\right|}{x}\cdot h$  

$H=\frac{\left|-60\text{cm}\right|}{15\text{cm}}\cdot 4\text{cm}=\frac{60\text{cm}}{15\text{cm}}\cdot 4\text{cm}=4\cdot 4\text{cm}=16\text{cm}$  

Odpowiedź: Na podstawie równania soczewki oraz wzorów na powiększenie obrazu otrzymujemy, że odległość obrazu od soczewki wynosi 60 cm, a jego wysokość to 16 cm. 

WNIOSEK: Wyniki otrzymane obiema metodami są takie same.