Dane:

$\lambda =720\text{nm}=720\cdot {10}^{-9}\text{m}=7,2\cdot {10}^{-7}\text{m}$  

$d=0,5\text{mm}=0,5\cdot {10}^{-3}\text{m}$  

$l=3\text{m}$  

$n=0$  

 

$\text{a)}$  

Szukane:

$x_0=?$  

Rozwiązanie: 

Wygaszenia fali w zależności od kąta ugięcia promieni świetlnych możemy przedstawić wzorem:

$\sin {\theta }_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda }{d}$  

gdzie:

$n$  - oznacza kolejny numer prążka, 

$\lambda$  - długość fali, 

$d$  - odległość między szczelinami, 

${\theta }_n$  - kąt, pod jakim ugina się promień fali.

Zauważyć możemy, że:

Wówczas zgodnie z własnościami funkcji trygonometrycznych otrzymamy:

$\mathrm{tg}{\theta }_n=\frac{x_n}{l}$  

$\frac{\sin {\theta }_n}{\cos {\theta }_n}=\frac{x_n}{l}{\mid }^2$  

$\frac{{\sin }^2{\theta }_n}{{\cos }^2{\theta }_n}=\frac{x_n^2}{l^2}$  

$\frac{{\sin }^2{\theta }_n}{1-{\sin }^2{\theta }_n}=\frac{x_n^2}{l^2}$  

Wymnażamy na krzyż:

$l^2{\sin }^2{\theta }_n=x_n^2\left(1-{\sin }^2{\theta }_n\right)$  

$l^2{\sin }^2{\theta }_n=x_n^2-x_n^2{\sin }^2{\theta }_n\mid +x_n^2{\sin }^2{\theta }_n$  

$x_n^2{\sin }^2{\theta }_n+l^2{\sin }^2{\theta }_n=x_n^2$  

$\left(x_n^2+l^2\right){\sin }^2{\theta }_n=x_n^2\mid :\left(x_n^2+l^2\right)$  

${\sin }^2{\theta }_n=\frac{x_n^2}{x_n^2+l^2}\mid \sqrt{}$  

$\sin {\theta }_n=\sqrt{\frac{x_n^2}{x_n^2+l^2}}$  

$\sin {\theta }_n=\frac{x_n}{\sqrt{x_n^2+l^2}}$  

Wówczas dla pierwszego obszaru całkowitego wygaszenia otrzymamy:

$\sin {\theta }_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda }{d}$  

$\frac{x_n}{\sqrt{x_n^2+l^2}}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda }{d}$  

$\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+l^2}}=\left(0+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda }{d}$  

$\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+l^2}}=\frac{\lambda }{2d}{\mid }^2$  

$\frac{x_0^2}{x_0^2+l^2}=\frac{{\lambda }^2}{4d^2}$  

Wymnażamy na krzyż:

${\lambda }^2\left(x_0^2+l^2\right)=4d^2{x}_0^2$  

${\lambda }^2{x}_0^2+{\lambda }^2{l}^2=4d^2{x}_0^2\mid -{\lambda }^2{x}_0^2$  

${\lambda }^2{l}^2=4d^2{x}_0^2-{\lambda }^2{x}_0^2$  

${\lambda }^2{l}^2=\left(4d^2-{\lambda }^2\right)x_0^2\mid :\left(4d^2-{\lambda }^2\right)$  

$\frac{{\lambda }^2{l}^2}{4d^2-{\lambda }^2}=x_0^2$  

$x_0^2=\frac{{\lambda }^2{l}^2}{4d^2-{\lambda }^2}\mid \sqrt{}$  

$x_0=\sqrt{\frac{{\lambda }^2{l}^2}{4d^2-{\lambda }^2}}$  

$x_0=\frac{\lambda l}{\sqrt{4d^2-{\lambda }^2}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x_0=\frac{7,2\cdot {10}^{-7}\text{m}\cdot 3\text{m}}{\sqrt{4\cdot {\left(0,5\cdot {10}^{-3}\text{m}\right)}^2-{\left(7,2\cdot {10}^{-7}\text{m}\right)}^2}}=\frac{21,6\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2}{\sqrt{4\cdot 0,25\cdot {10}^{-6}{\text{m}}^2-51,84\cdot {10}^{-14}{\text{m}}^2}}=$  

$=\frac{21,6\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2}{\sqrt{1\cdot {10}^{-6}{\text{m}}^2-51,84\cdot {10}^{-8}\cdot {10}^{-6}{\text{m}}^2}}=\frac{21,6\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2}{\sqrt{\left(1-51,84\cdot {10}^{-8}\right)\cdot {10}^{-6}{\text{m}}^2}}\approx$  

$\approx \frac{21,6\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2}{\sqrt{1\cdot {10}^{-6}{\text{m}}^2}}=\frac{21,6\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2}{1\cdot {10}^{-3}\text{m}}=$  

$=21,6\cdot {10}^{-4}\text{m}=2,16\cdot {10}^{-3}\text{m}=2,16\text{mm}\approx 2,2\text{mm}$  

Odpowiedź: Pierwszy obszar całkowitego wygaszenia znajduje się w odległości około 2,2 mm od środkowego prążka. 

 

$\text{b)}$  

Szukane:

$x_1=?$  

Rozwiązanie: 

Wzmocnienie fali w zależności od kąta ugięcia promieni świetlnych możemy przedstawić wzorem:

$\sin {\theta }_n=\frac{n\lambda }{d}$  

gdzie:

$n$  - oznacza kolejny numer prążka, 

$\lambda$  - długość fali, 

$d$  - odległość między szczelinami, 

${\theta }_n$  - kąt, pod jakim ugina się promień fali.

Podobnie jak wcześniej możemy zapisać, że:

$\sin {\theta }_n=\frac{x_n}{\sqrt{x_n^2+l^2}}$  

Wówczas odległość w jakiej powstanie pierwszy prążek wzmocnienia ma postać:

$\sin {\theta }_n=\frac{n\lambda }{d}$  

$\frac{x_n}{\sqrt{x_n^2+l^2}}=\frac{n\lambda }{d}$  

$\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+l^2}}=\frac{1\cdot \lambda }{d}{\mid }^2$  

$\frac{x_1^2}{x_1^2+l^2}=\frac{{\lambda }^2}{d^2}$   

Wymnażamy na krzyż:

$d^2{x}_1^2={\lambda }^2\left(x_1^2+l^2\right)$  

$d^2{x}_1^2={\lambda }^2{x}_1^2+{\lambda }^2{l}^2\mid -{\lambda }^2{x}_1^2$  

$d^2{x}_1^2-{\lambda }^2{x}_1^2={\lambda }^2{l}^2$  

$\left(d^2-{\lambda }^2\right)x_1^2={\lambda }^2{l}^2\mid :\left(d^2-{\lambda }^2\right)$  

$x_1^2=\frac{{\lambda }^2{l}^2}{d^2-{\lambda }^2}\mid \sqrt{}$  

$x_1=\sqrt{\frac{{\lambda }^2{l}^2}{d^2-{\lambda }^2}}$  

$x_1=\frac{\lambda l}{\sqrt{d^2-{\lambda }^2}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x_1=\frac{7,2\cdot {10}^{-7}\text{m}\cdot 3\text{m}}{\sqrt{{\left(0,5\cdot {10}^{-3}\text{m}\right)}^2-{\left(7,2\cdot {10}^{-7}\text{m}\right)}^2}}=\frac{21,6\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2}{\sqrt{0,25\cdot {10}^{-6}{\text{m}}^2-51,84\cdot {10}^{-14}{\text{m}}^2}}\approx$  

$\approx \frac{21,6\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2}{\sqrt{0,25\cdot {10}^{-6}{\text{m}}^2}}=\frac{21,6\cdot {10}^{-7}{\text{m}}^2}{0,5\cdot {10}^{-3}\text{m}}=43,2\cdot {10}^{-4}\text{m}=$  

$=4,32\cdot {10}^{-3}\text{m}=4,32\text{mm}\approx 4,3\text{mm}$  

Odpowiedź: Pierwszy obszar całkowitego wzmocnienia znajduje się w odległości około 4,3 mm od środkowego prążka.