Dane:

$T_1=0,4\text{s}$

Szukane:

$T_2=?$

$T_3=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie okresu drgań ciężarka zawieszonego w układach sprężyn. W przypadku ciała zawieszonego na sprężynie okres drgań możemy obliczyć ze wzoru:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

gdzie:

$T$ - okres drgań, 

$\pi$ - liczba π,

$m$ - masa zwieszona na sprężynie, 

$k$ - współczynnik sprężystości sprężyny. 

Zatem dla ciężarka zawieszonego na pojedynczej sprężynie mamy:

$T_1=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

---

Rozważamy układ sprężyn połączonych równolegle.

W tym przypadku mamy do czynienia z układem sprężyn połączonych równolegle zbudowanym z dwóch takich samych sprężyn co wcześniej. Wówczas ciało zawieszone w układzie sprawia, że każda z nich wydłuża się o taką samą wartość:

$x_1=x_2$

gdzie:

$x_1$ - wydłużenie pierwszej sprężyny, 

$x_2$ - wydłużenie drugiej sprężyny. 

Wówczas również cały układ sprężyn wydłuża się o długość $\Delta x$, czyli:

$\Delta x=x_1=x_2$

gdzie:

$\Delta x$ - całkowite wydłużenie układu sprężyn.

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

${\vec{F}}_{x1}$ - siła sprężystości pochodząca od pierwszej sprężyny, 

${\vec{F}}_{x2}$ - siła sprężystości pochodząca od drugiej sprężyny, 

${\vec{F}}_2$ - wypadkowa siła sprężystości całego układu działająca na ciężarek.

Zauważmy z rysunku, że:

$F_2=F_{x1}+F_{x2}$

Wartość wypadkowej siły sprężystości działającej w tym układzie możemy przedstawić wzorem:

$F_2=k_2\Delta x$

gdzie: 

$k_2$ - współczynnik sprężystości całego układu.

Wartość siły działającej na pierwszą sprężynę wynosi:

$F_{x1}=k{x}_1$

Wartość siły działającej na drugą sprężynę będzie miała postać:

$F_{x2}=k{x}_2$

Oznacza to, że wypadkowy współczynnik sprężystości układu wynosi:

$F_2=F_{x1}+F_{x2}$

$k_2\Delta x=k{x}_1+k{x}_2$

$k_2\Delta x=k\Delta x+k\Delta x$

$k_2\cancel{\Delta x}=2k\cancel{\Delta x}$

$k_2=2k$

Zatem okres drgań ciężarka zawieszonego w tym układzie sprężyn ma postać:

$T_2=2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$

$T_2=2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$

$T_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

$T_2=\frac{1}{\sqrt{2}}{T}_1$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0,4\text{s}\approx \frac{1}{1,4142}\cdot 0,4\text{s}\approx$

$\approx 0,7071\cdot 0,4\text{s}=0,28284\text{s}\approx 0,28\text{s}$

---

Rozważamy układ sprężyn połączonych szeregowo.

W naszym przypadku mamy do czynienia z układem sprężyn połączonych szeregowo, czyli:

gdzie:

${\vec{F}}_{x1}$ - siła sprężystości pochodząca od pierwszej sprężyny, 

${\vec{F}}_{x2}$ - siła sprężystości pochodząca od drugiej sprężyny, 

${\vec{F}}_3$ - wypadkowa siła sprężystości działająca na ciężarek, 

${\vec{F}}_{R1}$ - siła reakcji punktu zawieszenia na pierwszą sprężynę, 

${\vec{F}}_{R2}$ - siła reakcji pierwszej sprężyny na drugą sprężynę. 

Zauważmy, że skoro układ po zawieszeniu ciężarka pozostawał w równowadze to:

$F_{x1}=F_{x2}=F_3$

Wartość siły sprężystości działającej na ciężarek będzie miała postać:

$F_3=k_3\Delta x$

gdzie:

$k_3$ - współczynnik sprężystości całego układu. 

Z wcześniejszych rozważań, wiemy, że:

$F_{x1}=k{x}_1$

$F_{x2}=k{x}_2$

Zauważmy, że suma rozciągnięć obu sprężyn jest całkowitym rozciągnięciem sprężyny, czyli spełnione jest równanie:

$\Delta x=x_1+x_2$

Zauważmy, że:

$\Delta x=\frac{F_3}{k_3}$

$x_1=\frac{F_{x1}}{k}$

$x_2=\frac{F_{x2}}{k}$

Zatem prawdą jest, że:

$\frac{F_3}{k_3}=\frac{F_{x1}}{k}+\frac{F_{x2}}{k}$

$\frac{F_3}{k_3}=\frac{F_3}{k}+\frac{F_3}{k}|:F_3$

$\frac{1}{k_3}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k}$

$\frac{1}{k_3}=\frac{2}{k}$

Odwracamy ułamki:

$k_3=\frac{k}{2}$

Zatem okres drgań układu sprężyn połączonych szeregowo ma postać:

$T_3=2\pi \sqrt{\frac{m}{k_3}}$

$T_3=2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{k}{2}}}$

$T_3=2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}}$

$T_3=\sqrt{2}\cdot 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

$T_3=\sqrt{2}\cdot T_1$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_3=\sqrt{2}\cdot 0,4\text{s}\approx 1,4142\cdot 0,4\text{s}=$

$=0,56568\text{s}\approx 0,57\text{s}$

---

Odpowiedź: Układ sprężyn połączonych równolegle drga z okresem równym około 0,28 s. Układ sprężyn połączonych szeregowo drga z okresem równym około 0,57 s.