W tabeli zamieszczono...- Zadanie 190: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Naszym zadaniem jest wykazanie, że promień orbity satelity stacjonarnego Marsa wynosi około 20 tys. km.

Z tabeli odczytujemy, że:

$M = 6 \cdot 10^{23} kg$

$T = 24, 62 h = 24, 62 \cdot 3600 s = 88632 s = 8, 8632 \cdot 10^{4} s$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała grawitacji: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N \cdot \frac{m ^{2}}{k g ^{2}}$ .

Pierwsza prędkość kosmiczna jest to prędkość, jaką należałoby nadać ciału w kierunku poziomym, aby obiegało ciało niebieskie po orbicie kołowej w minimalnej odległości od jego powierzchni. Im większy promień orbity, tym wartość prędkości, jaką będzie posiadać poruszające się po niej ciało będzie mniejsza. Orbita stacjonarna jest to natomiast orbita, po której ciało porusza się z taką prędkością liniową, że jego prędkość kątowa jest równa prędkości kątowej planety. Innymi słowy, okres obiegu satelity wokół planety jest równy okresowi obrotu planety. Zapiszmy wzór analogiczny do wzoru na pierwszą prędkość kosmiczną, dla orbity stacjonarnej Marsa:

$v = \frac{G M}{R}$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości liniowej satelity na orbicie stacjonarnej Marsa,

$G$ - stała grawitacji,

$M$ - masa Marsa,

$R$ - promień orbity stacjonarnej.

Prędkość liniową w zależności od prędkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v = ω R$

gdzie:

$ω$ - wartość prędkości kątowej.

Prędkość kątową ciała w zależności od okresu jego ruchu przedstawiamy wzorem:

$ω = \frac{2 π}{T}$

gdzie:

$π$ - liczba π,

$T$ - okres obiegu satelity równy okresowi obrotu Marsa.

Z powyższych wzorów wynika, że promień, po jakim porusza się satelita stacjonarny Marsa, przedstawimy wzorem:

$v = \frac{G \cdot M}{R} ∣^{2}$

$v^{2} = \frac{G \cdot M}{R}$

$(ω \cdot R)^{2} = \frac{G \cdot M}{R}$

$(\frac{2 π}{T} \cdot R)^{2} = \frac{G \cdot M}{R}$

$\frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} \cdot R^{2} = \frac{G \cdot M}{R} ∣ \cdot T^{2}$

$4 π^{2} \cdot R^{2} = \frac{G \cdot M \cdot T ^{2}}{R} ∣ \cdot R$

$4 π^{2} \cdot R^{3} = G \cdot M \cdot T^{2} ∣ : 4 π^{2}$

$R^{3} = \frac{G \cdot M \cdot T ^{2}}{4 π ^{2}} ∣ 3$

$R = 3 \frac{G \cdot M \cdot T ^{2}}{4 π ^{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R = 3 \frac{6 , 67 \cdot 10 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}} \cdot 6 \cdot 10 ^{23} kg \cdot ( 8 , 8632 \cdot 10 ^{4} s ) ^{2}}{4 \cdot 3 , 14 ^{2}} \approx$

$\approx 3 \frac{6 , 67 \cdot 10 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{k g} \cdot 6 \cdot 10 ^{23} \cdot 78 , 556 \cdot 10 ^{8} s ^{2}}{4 \cdot 9 , 8596} \approx$