Dane:

$Q=120\text{N}$

$l=3\text{m}$

$l_{\text{AB}}=1\text{m}$

 

Nasze zadanie jest kilkuczęściowe. Podzielimy więc rozwiązanie na etapy:

• etap I: sporządzenie rysunku obrazującego siły działające na belkę,
• etap II: zapisanie równań opisujących warunki równowagi belki,
• etap III: obliczenie wartości sił, jakimi uchwyty działają na belkę.

 

$I.$

 Uzasadnienie: 

Belka jest zawieszona w taki sposób, że uchwyt U_A jest dociskany przez nią do sufitu, więc działa na belkę siłą reakcji o przeciwnym zwrocie - w dół. Natomiast uchwyt U_B jest ciągnięty przez belkę w dół, zatem działa na belkę siłą reakcji zwróconą w górę. Ramię siły ${\vec{F}}_A$   jest większe od ramienia siły ${\vec{F}}_B$  , więc wartość siły przyłożonej w punkcie A będzie mniejsza (zatem wektor będzie krótszy).

 Odpowiedź:

Zaznaczamy siły na rysunku:

gdzie:

${\vec{F}}_A$ - siła, z jaką uchwyt działa na belkę w punkcie A,

${\vec{F}}_B$ - siła, z jaką  uchwyt działa na belkę w punkcie B.

 

$II.$

 Uzasadnienie: 

Wykonajmy rysunek pomocniczy do zadania, na którym oznaczymy siły działające na drewnianą belkę:

gdzie:

${\vec{F}}_g$ - ciężar belki. 

Belka utrzymywała się nieruchomo, czyli działające na nią siły musiały się równoważyć, zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu postępowego. Warunek ten zapiszemy jako:

$F_g+F_A-F_B=0$

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości,

$F_A$ - wartość siły, z jaką uchwyt działa na belkę w punkcie A,

$F_B$ - wartość siły, z jaką uchwyt działa na belkę w punkcie B.

Belka również się nie obracała, co oznacza, że działające na nią momenty sił się równoważyły, zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego. Moment siły pochodzący od siły ciężkości jest zerowy, ponieważ siła ta jest przyłożona w punkcie będącym środkiem masy, zatem:

$M_A-M_B=0$

gdzie:

$M_A$ - wartość momentu siły pochodzącego od siły działającej w punkcie A, 

$M_B$ - wartość momentu siły pochodzącego od siły działającej w punkcie B.

 Odpowiedź: 

Równania równowagi belki wynikające z I zasady dynamiki dla ruchu obrotowego i postępowego mają postać:

$M_A-M_B=0$

$F_A-F_B+F_g=0$

 

$III.$

Szukane:

$F_A=?$

$F_B=?$

Rozwiązanie:

Do obliczenia wartości sił skorzystamy z równań wyznaczonych w poprzednim etapie. 

Znamy odległość pomiędzy uchwytami A i B oraz długość belki. Wiemy, że wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej w przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia możemy przedstawiamy wzorem:

$M=r\cdot F$  

gdzie:

$M$   - wartość momentu siły,

$F$   - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$r$   - ramię siły.

 Zapiszmy momenty sił działające na belkę względem punktu obrotu S. Moment siły pochodzący od siły działającej na belkę w puncie A:

$M_A=l_{\text{AS}}\cdot F_A$

gdzie:

$M_A$ - wartość momentu siły pochodzącego od siły działającej w punkcie A, 

$l_{AS}$ - długość ramienia siły działającej w punkcie A, 

$F_A$ - wartość siły działającej w punkcie A. 

Wiemy, że belka ma długość $l$, a środek jej masy znajduje się w środku belki, czyli w punkcie S. Wówczas odległość punktu S od punktu A odpowiada połowie długości belki:

$l_{AS}=\frac{l}{2}$

gdzie:

$l$ - długość belki.

Moment siły pochodzący od siły działającej na belkę w punkcie B będzie miał postać:

$M_B=l_{\text{BS}}\cdot F_B$

gdzie:

$M_B$ - wartość momentu siły pochodzącego od siły działającej w punkcie B, 

$l_{BS}$ - długość ramienia siły działającej w punkcie B, 

$F_B$ - wartość siły działającej w punkcie B. 

Z rysunku zamieszczonego w zadaniu wynika, że:

$l_{AB}+l_{BS}=l_{AS}$

gdzie:

$l_{AB}$ - odległość pomiędzy punktami A i B. 

Oznacza to, że długość ramienia siły działającej w punkcie B ma postać:

$l_{AB}+l_{BS}=l_{AS}|-l_{AB}$

$l_{BS}=l_{AS}-l_{AB}$

$l_{BS}=\frac{l}{2}-l_{AB}$

Wartość momentu siły ciężkości będzie zerowa, ponieważ siła ta jest przyłożona w punkcie S:

$M_g=0$

Zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej oraz I zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy równanie, z którego wyznaczamy wartość siły działającej na belkę w punkcie A:

$M_A-M_B=0$

$l_{AS}\cdot F_A=l_{BS}\cdot F_B$ 

$\frac{l}{2}\cdot F_A=\left(\frac{l}{2}-l_{AB}\right)\cdot F_B|\cdot 2$

$l\cdot F_A=2\left(\frac{l}{2}-l_{AB}\right)\cdot F_B$

$l\cdot F_A=\left(l-2l_{AB}\right)\cdot F_B|:l$

$F_A=\frac{1}{l}\left(l-2l_{AB}\right)\cdot F_B$

$F_A=F_B-\frac{2l_{AB}}{l}\cdot F_B$

Korzystając z I zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego zapisujemy równanie równowagi sił.

$F_A-F_B+Q=0$

Stąd:

$\cancel{F_B}-\frac{2l_{\text{AB}}}{l}\cdot F_B-\cancel{F_B}+Q=0$

$-\frac{2l_{\text{AB}}}{l}\cdot F_B+Q=0|-Q$

$-\frac{2l_{\text{AB}}}{l}\cdot F_B=-Q|\cdot \left(-l\right)$

$2l_{AB}{F}_B=lQ|:2l_{AB}$

$F_B=\frac{l}{2l_{AB}}Q$ 

 Obliczmy wartość siły przyłożonej w punkcie B:

$F_B=\frac{3\text{m}}{2\cdot 1\text{m}}\cdot 120\text{N}=180\text{N}$  

 Obliczmy wartość siły przyłożonej w punkcie A:

$F_A=180\text{N}-\frac{2\cdot 1\text{m}}{3\text{m}}\cdot 180\text{N}=180\text{N}-120\text{N}=60\text{N}$

Odpowiedź: Siła, z jaką uchwyt działa na belkę w punkcie A ma wartość 60 N, a w punkcie B 180 N.