Dane:

$m=0,1\mathrm{kg}$  

$h=45\mathrm{m}$  

$g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$  

 

$1.$  

Naszym zadaniem jest wyprowadzenie formuły matematycznej opisującej zależność energii kinetycznej od czasu spadania. Kulka spadając swobodnie porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem ziemskim. Oznacza to, że wartość jej prędkości możemy przedstawić wzorem:

$v=gt$  

gdzie:

$v$ - szybkość kulki,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$t$ - czas spadania.

Energię kinetyczną kulki przedstawimy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna,

$m$ - masa kulki.

Wówczas zależność energii kinetycznej kulki od czasu jej spadania będzie miała postać:

$E_k\left(t\right)=\frac{mv{}^2}{2}$  

$E_k\left(t\right)=\frac{m{\left(gt\right)}^2}{2}$  

$E_k\left(t\right)=\frac{m{g}^2{t}^2}{2}$   

$E_k\left(t\right)=\frac{m{g}^2}{2}\cdot t^2$   

Zależność energii kinetycznej od czasu spadania kulki ma postać: $E_k\left(t\right)=\frac{m{g}^2}{2}\cdot t^2$.

 

$2.$  

 Uzasadnienie: 

Aby wykonać wykres musimy obliczyć wartości energii potencjalnej dla poszczególnych wartości czasu, a następnie zaznaczyć je w układzie współrzędnych. Drogę jaką pokona spadająca kulka możemy przedstawić wzorem:

$s=\frac{1}{2}g{t}^2$  

gdzie:

$s$ - droga pokonana przed kulkę,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$t$ - czas spadania.

Wysokość na jakiej znajduje się kulka w zależności od czasu spadania przedstawimy wzorem:

$h\left(t\right)=h-s$  

gdzie:

$h\left(t\right)$ - wysokość, na jakiej znajduje się kulka w zależności od czasu spadania,

$h$ - wysokość na jakiej znajdowała się kulka przed rozpoczęciem ruchu.

Energię potencjalną kulki przedstawimy za pomocą wzoru:

$E_p=mgh$  

gdzie:

$E_p$ - energia potencjalna kulki.

Wówczas zależność energii potencjalnej od czasu spadania będzie miała postać:

$E_p\left(t\right)=mgh\left(t\right)$  

$E_p\left(t\right)=mg\left(h-s\right)$  

$E_p\left(t\right)=mgh-mgs$  

$E_p\left(t\right)=mgh-mg\frac{1}{2}g{t}^2$  

$E_p\left(t\right)=mgh-\frac{1}{2}m{g}^2{t}^2$  

Wstawiamy te dane liczbowe, które znamy:

$E_p\left(t\right)=0,1\mathrm{kg}\cdot 10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 45\mathrm{m}-\frac{1}{2}\cdot 0,1\mathrm{kg}\cdot {\left(10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\right)}^2\cdot t^2$  

$E_p\left(t\right)=45\mathrm{kg}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}-\frac{1}{2}\cdot 0,1\mathrm{kg}\cdot 100\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^4}\cdot t^2$  

$E_p\left(t\right)=45\mathrm{J}-5\mathrm{kg}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \frac{1}{{\mathrm{s}}^2}\cdot t^2$  

$E_p\left(t\right)=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot t^2$  

Dla podanych w tabeli czasów otrzymujemy, że:

$E_p\left(0\mathrm{s}\right)=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot {\left(0\mathrm{s}\right)}^2=$  

$=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot {0{\mathrm{s}}^2}^{}=45\mathrm{J}-0\mathrm{J}=45\mathrm{J}$

$E_p\left(0,5\mathrm{s}\right)=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot {\left(0,5\mathrm{s}\right)}^2=$  

$=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 0,25{\mathrm{s}}^2=45\mathrm{J}-1,25\mathrm{J}=43,75\mathrm{J}$

$E_p\left(1\mathrm{s}\right)=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}{}^2}\cdot {\left(1\mathrm{s}\right)}^2=$  

$=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{s^2}\cdot 1\mathrm{s}{}^2=45\mathrm{J}-5\mathrm{J}=40\mathrm{J}$

$E_p\left(1,5\mathrm{s}\right)=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot {\left(1,5\mathrm{s}\right)}^2=$  

$=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 2,25{\mathrm{s}}^2=45\mathrm{J}-11,25\mathrm{J}=33,75\mathrm{J}$

$E_p\left(2\mathrm{s}\right)=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}{}^2}\cdot {\left(2\mathrm{s}\right)}^2=$  

$=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}{}^2}\cdot 4\mathrm{s}{}^2=45\mathrm{J}-20\mathrm{J}=25\mathrm{J}$

$E_p\left(2,5\mathrm{s}\right)=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}{}^2}\cdot {\left(2,5\mathrm{s}\right)}^2=$  

$=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}{}^2}\cdot 6,25\mathrm{s}{}^2=45\mathrm{J}-31,25\mathrm{J}=13,75\mathrm{J}$

$E_p\left(3\mathrm{s}\right)=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}{}^2}\cdot {\left(3\mathrm{s}\right)}^2=$  

$=45\mathrm{J}-5\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}{}^2}\cdot 9\mathrm{s}{}^2=45\mathrm{J}-45\mathrm{J}=0\mathrm{J}$

 Odpowiedź: 

Uzupełniamy tabelę:

Czas spadania (s)	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
Energia potencjalna (J)	45	43,75	40	33,75	25	13,75	0

Sporządzamy wykres zależności energii potencjalnej od czas spadającej kulki: