Dane:

$h_1=5\mathrm{m}$

$h_2=2\mathrm{m}$

$g=9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

 

$1.$

Szukane:

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=?$

Rozwiązanie:

Obie kulki wylądowały w tym samym punkcie, czyli zasięg rzutu był w obu przypadkach taki sam:

$z_1=z_2$

gdzie:

$z_1$ - zasięg rzutu kulki K₁,

$z_2$ - zasięg rzutu kulki K₂.

Zasięg rzutu poziomego możemy obliczyć korzystając z wzoru:

$z=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$

gdzie:

$z$ - zasięg rzutu, 

$v_0$ - wartość prędkości początkowej, z jaką wyrzucono ciało,

$h$ - wysokość, z jakiej wyrzucono ciało, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Zatem:

$v_{01}\sqrt{\frac{2h_1}{g}}=v_{02}\sqrt{\frac{2h_2}{g}}$

gdzie:

$v_{01}$ - szybkość początkowa pierwszej kulki,

$v_{02}$ - szybkość początkowa drugiej kulki,

$h_1$ - wysokość, z jakiej wyrzucono pierwszą kulkę,

$h_2$ - wysokość, z jakiej wyrzucono drugą kulkę.

Wyznaczamy wzór na stosunek szybkości:

$v_{01}\sqrt{\frac{2h_1}{g}}=v_{02}\sqrt{\frac{2h_2}{g}}|:v_{02}$

$\frac{v_{01}}{v_{02}}\sqrt{\frac{2h_1}{g}}=\sqrt{\frac{2h_2}{g}}|:\sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=\frac{\sqrt{\frac{2h_2}{g}}}{\sqrt{\frac{2h_1}{g}}}$

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=\sqrt{\frac{\frac{2h_2}{g}}{\frac{2h_1}{g}}}$

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=\sqrt{\frac{\cancel{2}{h}_2}{\cancel{g}}\cdot \frac{\cancel{g}}{\cancel{2}{h}_1}}$

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=\sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$

Wstawiamy dane liczbowe:

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=\sqrt{\frac{2\cancel{\mathrm{m}}}{5\cancel{\mathrm{m}}}}=\sqrt{0,4}\approx 0,63$

Odpowiedź: Iloraz wartości prędkości początkowej kulki K₁ i wartości prędkości początkowej kulki K₂ wynosi około 0,63.

 

$2.$

Dane:

$v_{01}=7,9\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Szukane:

$v_{k1}=?$

Rozwiązanie:

Do wyznaczenia szybkości końcowej kulki skorzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej. W chwili wyrzutu kulka posiada zarówno energię potencjalną, jak i kinetyczną:

$E_0=E_{kp}+E_{pp}$

gdzie:

$E_0$ - energia mechaniczna kulki w chwili początkowej,

$E_{kp}$ - początkowa energia kinetyczna kulki,

$E_{pp}$ - początkowa energia potencjalna kulki.

Energię kinetyczną kulki wyrazić możemy za pomocą wzoru:

$E_{kp}=\frac{m{v}_{01}^2}{2}$

gdzie:

$m$ - masa kulki, 

$v_{01}$ - szybkość, z jaką kulka została wyrzucona. 

Energię potencjalną kulki w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_{pp}=mg{h}_1$ 

gdzie: 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h_1$ - wysokość, z jakiej wyrzucono kulkę. 

Tuż przed uderzeniem w podłoże kulka posiada wyłącznie energię kinetyczną:

$E_k=E_{kk}$

gdzie:

$E_k$ - energia mechaniczna kulki tuż przed uderzeniem w podłoże,

$E_{kk}$ - końcowa energia kinetyczna kulki.

Energię kinetyczną kulki wyrazimy za pomocą wzoru:

$E_{kk}=\frac{m{v}_{k1}^2}{2}$

gdzie:

$v_{k1}$ - szybkość, z jaką kulka dotarła do podłoża. 

Korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej wyznaczamy wzór na szybkość końcową kulki:

$E_0=E_k$

$E_{kp}+E_{pp}=E_{kk}$

$\frac{m{v}_{01}^2}{2}+mg{h}_1=\frac{m{v}_{k1}^2}{2}|:m$

$\frac{v_{01}^2}{2}+g{h}_1=\frac{v_{k1}^2}{2}|\cdot 2$

$v_{01}^2+2g{h}_1=v_{k1}^2|\cdot 2$

$v_{k1}^2=v_{01}^2+2g{h}_1|\sqrt{}$

$v_{k1}=\sqrt{v_{01}^2+2g{h}_1}$

Wstawiamy dane liczbowe:

$v_{k1}=\sqrt{{\left(7,9\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2+2\cdot 9,81\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 5\mathrm{m}}=$

$=\sqrt{62,41\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}+98,1\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}=$

$=\sqrt{160,51\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}\approx 12,7\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Odpowiedź: Prędkość kulki tuż przed uderzeniem w podłoże ma wartość około 12,7 m/s.