UWAGA! Wynik otrzymany w podpunkcie 2 różni się od otrzymanego w rozwiązaniach ze zbioru. Równania zapisane w szkicu rozwiązań w zbiorze zadań są poprawne, jednak wyciągnięto z nich niepoprawne wnioski.

 

$1.$  

Naszym celem jest wskazanie prawa fizycznego, na które trzeba się powołać, aby udowodnić, że fotony powstałe w wyniku anihilacji mają taką samą energię. Wiemy, że w wyniku anihilacji elektronu i pozytonu powstają dwa fotony. Nie mają one masy, więc cała ich energia jest związana z ich pędem. Przed anihilacją cząstki spoczywały, więc całkowity pęd układu wynosił zero. Po anihilacji pęd również musi wynosić zero, dlatego fotony muszą mieć tę samą wartość pędu, ale przeciwne zwroty. Jak wiemy, energia fotonu jest proporcjonalna do jego pędu, więc oba fotony muszą mieć taką samą energię. Widzimy więc, że dowód ten opiera się na zasadzie zachowania pędu.

 

$2.$  

Naszym celem jest stwierdzenie, czy długości fali kwantów będą takie same. Wiemy, że przed zderzeniem pozyton poruszał się, a więc posiadał pęd. Bez straty ogólności przyjmijmy, że „dodatni” pęd skierowany jest w prawo. Jest to jednocześnie pęd całkowity układu, ponieważ elektron pozostawał w spoczynku. W związku z tym możemy zapisać:

$p_{c.0}=p_p$

gdzie:

$p_{c.0}$ - wartość pędu całkowitego przed anihilacją,

$p_p$ - wartość pędu pozytonu.

Po anihilacji powstają dwa fotony - foton A porusza się w tym samym kierunku co pozyton, więc ma „dodatni” zwrot pędu. Drugi foton porusza się w stronę przeciwną, czyli jego pęd ma zwrot „ujemny”. W związku z tym pęd całkowity po anihilacji można zapisać jako:

$p_{c.1}=p_A-p_B$

gdzie:

$p_{c.1}$ - wartość pędu całkowitego po anihilacji,

$p_A$ - wartość pędu fotonu A,

$p_B$ - wartość pędu fotonu B.

Zgodnie z zasadą zachowania pędu wartości pędu przed anihilacją i po niej muszą być sobie równe. W związku z tym możemy zapisać:

$p_{c.0}=p_{c.1}$

$p_p=p_A-p_B$

Wiemy, że wartość pędu pozytonu jest większa od zera, więc możemy zapisać:

$0<p_p=p_A-p_B$

$0<p_A-p_B$

$p_B<p_A$

Zatem foton A ma większą wartość pędu niż foton B. Wiemy, że pęd fotonu jest dany wzorem:

WARTOŚĆ PĘDU FOTONU Wartość pędu wyemitowanego fotonu możemy przedstawić wzorem: $p_f=\frac{h}{\lambda }$ gdzie: $p_f$ - wartość pędu fotonu,  $h$ - stała Plancka,  $\lambda$ - długość fali wyemitowanego fotonu.

Jak widzimy, długość fali jest odwrotnie proporcjonalna do wartości pędu fotonu, zatem foton A ma mniejszą długość fali niż foton B.

 

$3.$  

Dane:

$t=6\text{h}$  

$N\left(t\right)=\frac{1}{10}{N}_0$  

Rozwiązanie:

Naszym celem jest oszacowanie czasu połowicznego rozpadu dla fluoru. Wiemy, że jądra izotopu rozpadają się zgodnie z prawem połowicznego rozpadu. W związku z tym możemy korzystać z zależności:

PRAWO ROZPADU PROMIENIOTWÓRCZEGO Zgodnie z prawem rozpadu promieniotwórczego liczbę jąder promieniotwórczych pierwiastka, która pozostanie po danym czasie, możemy przedstawić zależnością: $N=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$ gdzie: $N$ - obecna liczba jąder promieniotwórczych, $N_0$ - początkowa liczba jąder w próbce, $T_{\frac{1}{2}}$ - czas połowicznego rozpadu pierwiastka znajdującego się w próbce, $t$ - czas, po jakim rozważamy ilość jąder pozostałych w próbce.

Możemy podstawić ilość cząstek po 6 godzinach do powyższego równania: 

$\frac{1}{10}{N}_0=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}\mid :N_0$  

$\frac{1}{10}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$  

Możemy podnieść obie strony do potęgi -1 i wtedy mamy:

${\left(\frac{1}{10}\right)}^{-1}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$

$10=2^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$  

Wiemy, że:

${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$  

Wówczas:

${\log }_{2}10=\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}\mid \cdot T_{\frac{1}{2}}$  

$T_{\frac{1}{2}}{\log }_{2}10=t\mid :{\log }_{2}10$  

$T_{\frac{1}{2}}=\frac{t}{{\log }_{2}10}$  

Podstawiamy wartości:

$T_{\frac{1}{2}}=\frac{6\text{h}}{{\log }_{2}10}\approx 1,99\text{h}\approx 2\text{h}$    

Odpowiedź: Okres połowicznego zaniku wynosi nieco poniżej 2 h.