W diagnostyce...- Zadanie 619: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$m = 164, 23768 \cdot 1 0^{- 27} kg$

$T = 6 h$

$1.$

Uzasadnienie:

Naszym celem jest zapisanie odpowiednich równań reakcji/przemian w kolejnych podpunktach.

A. Tutaj mamy zapisać reakcje przemiany jądra ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego. Z polecenia wiemy, że w tym procesie emitowany jest kwant gamma, więc liczby atomowe i masowe się nie zmieniają. W związku z tym możemy zapisać:

$X_{43}^{99 m} X_{243}^{2 99 m} Tc X_{43}^{99} X_{243}^{299} Tc + γ$

B. Tutaj mamy zapisać reakcje przemiany $β^{-}$ jądra $^{99} Mo$ , w efekcie powstaje wzbudzone jądro technetu. Wiemy, że w rozpadzie $β^{-}$ jeden neutron zamienia się w proton, więc liczba atomowa rośnie o 1, a liczba masowa pozostaje bez zmian. Nie znamy liczby atomowej molibdenu, ale - jak wcześniej wspominaliśmy - po jej zwiększeniu o jeden otrzymujemy technet, więc musi ona wynosić 42. W wyniku rozpadu beta emitowany jest elektron oraz antyneutrino. Korzystając z tych informacji, możemy zapisać:

$X_{42}^{99} X_{242}^{299} Mo X_{43}^{99 m} X_{243}^{2 99 m} Tc + X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e X^{-} + \overline{ν} X_{e}$

C. Dla tego punktu mamy zapisać reakcję jądrową zderzenia protonu z jądrem $^{100} Mo$ . Wiemy, że w wyniku tej reakcji powstaje wzbudzone jądro technetu i dwie cząstki elementarne. Proton ma liczby atomową oraz masową równą 1. Tak jak mówiliśmy w poprzednim podpunkcie liczba atomowa molibdenu to 42, a masowa 100. W związku z tym przed reakcją sumaryczna liczba atomowa wynosi 43, a masowa 101.

W wyniku reakcji powstaje technet o liczbie atomowej 43 i masowej 99 oraz dwie cząstki. Jak widać, liczby atomowe przed i po reakcji wynoszą 43. Natomiast liczby masowe różnią się o 2. Jedynymi cząstkami, które mają liczbę masową, ale nie mają liczby atomowej, są neutrony. Ponieważ mają one liczbę masową równą 1, aby zachować liczbę nukleonów oraz ładunek po obu stronach równania, tymi dwiema cząstkami muszą być neutrony. W związku z tym możemy zapisać:

$X_{42}^{100} X_{242}^{2100} Mo + X_{1}^{1} X_{21}^{21} p X_{43}^{99 m} X_{243}^{2 99 m} Tc + X_{0}^{1} X_{20}^{21} n + X_{0}^{1} X_{20}^{21} n$

Odpowiedź:

A. $X_{43}^{99 m} X_{243}^{2 99 m} Tc X_{43}^{99} X_{243}^{299} Tc + γ$

B. $X_{42}^{99} X_{242}^{299} Mo X_{43}^{99 m} X_{243}^{2 99 m} Tc + X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e X^{-} + \overline{ν} X_{e}$

C. $X_{42}^{100} X_{242}^{2100} Mo + X_{1}^{1} X_{21}^{21} p X_{43}^{99 m} X_{243}^{2 99 m} Tc + X_{0}^{1} X_{20}^{21} n + X_{0}^{1} X_{20}^{21} n$

$2.$

Dane:

$t = 2 h$

Szukane:

$Δ N = ?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest określenie, ile jąder przejdzie ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego po upływie dwóch godzin. Robimy to, korzystając z prawa połowicznego rozpadu:

$N = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$

gdzie:

$N$ - obecna liczba jąder w stanie wzbudzonym,

$N_{0}$ - początkowa liczba jąder w stanie wzbudzonym,

$T$ - czas połowicznego rozpadu pierwiastka znajdującego się w próbce,

$t$ - czas, po jakim rozważamy ilość jąder pozostałych w próbce.

Z powyższego wzoru otrzymamy liczbę jąder, które pozostały w stanie wzbudzonym, podczas gdy nas interesuje, jaka część jąder przeszła do stanu podstawowego. Wiemy, że całkowita liczba jąder jest stała, a różnią się one jedynie tym, czy znajdują się w stanie wzbudzonym, czy podstawowym. Odejmując od początkowej liczby jąder te, które pozostały w stanie wzbudzonym, otrzymamy liczbę jąder, które zmieniły swój stan. W związku z tym możemy zapisać:

$Δ N = N_{0} - N$

gdzie:

$Δ N$ - część jąder, która przeszła do stanu podstawowego.

Podstawiając wzór na ilość jąder, które pozostały w stanie wzbudzonym:

$Δ N = N_{0} - N_{0} (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$

$Δ N = N_{0} (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}})$

Podstawiając wartości liczbowe:

$Δ N = N_{0} (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{2 h}{6 h}}) =$

$Δ N = N_{0} (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}) \approx$

$Δ N \approx N_{0} (1 - 0, 79) = 0, 21 N_{0}$

Odpowiedź: Do stanu podstawowego przeszło 21% jąder.

$3.$

Dane:

$λ = 8, 69 pm = 8, 69 \cdot 1 0^{- 12} m$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stałej Plancka: $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J \cdot s$ ,

▶ wartości prędkości światła w próżni: $c = 3 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$ .

Szukane:

$m_{m} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie masy wzbudzonego jądra technetu. To jądro ma większą masę w związku z nadmiarem posiadanej przez niego energii, której pozbywa się poprzez emisję fotonu o określonej długości. Po emisji fotonu jądro jest w stanie podstawowym i wówczas jego masa jest równa masie spoczynkowej. Z zasady zachowania energii wiemy, że energia w układzie musi być zachowana. W naszych obliczeniach pomijamy odrzut jądra na skutek emisji fotonu, więc możemy zapisać:

$E_{m} = E_{0} + E_{f}$

gdzie:

$E_{m}$ - energia jądra w stanie wzbudzonym,

$E_{0}$ - energia jądra w stanie podstawowym,

$E_{f}$ - energia fotonu.

Energię spoczynkową cząstki przedstawiamy wzorem:

$E = m c^{2}$

gdzie:

$E$ - energia cząstki związana z masą,

$m$ - masa cząstki,

$c$ - wartość prędkości światła w próżni.

Energia fotonu jest z kolei związana z długością jego fali za pomocą wzoru:

$E_{f} = \frac{h c}{λ}$

gdzie:

$h$ - stała Plancka,

$c$ - wartość prędkości światła,

$λ$ - długość fali padającego promieniowania.

Podstawiając te wzory na energię do zasady zachowania energii otrzymujemy:

$m_{m} c^{2} = m c^{2} + \frac{h c}{λ}$

gdzie:

$m_{m}$ - masa jądra w stanie wzbudzonym,

$m$ - masa jądra w stanie podstawowym.

Naszym celem jest wyznaczenie masy jądra w stanie wzbudzonym. W tym celu dzielimy obie strony powyższego równania przez wartość prędkości światła w kwadracie i wówczas:

$m_{m} = m + \frac{h}{c λ}$

Podstawiając wartości liczbowe:

$m_{m} = 164, 23768 \cdot 1 0^{- 27} kg + \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} J \cdot s}{3 \cdot 1 0 ^{8} \frac{m}{s} \cdot 8 , 69 \cdot 1 0 ^{- 12} m} =$

$m_{m} = 164, 23768 \cdot 1 0^{- 27} kg + \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} kg \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \cdot s}{26 , 07 \cdot 1 0 ^{- 4} \frac{m ^{2}}{s}} \approx$