1. Na rysunku poniżej przedstawiono...- Zadanie 534: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

$1 .$

Uzasadnienie:

Naszym celem jest narysowanie obrazu powstałego po zastosowaniu soczewki z ustawioną przesłoną. Aby to zrobić, musimy wykonać konstrukcję dla punktu A i punktu B - to one wskażą położenie odpowiednich części obrazu.

Zaczynamy od punktu A. Prowadzimy ze szczytu strzałki dwa promienie. Pierwszy biegnie równolegle do osi optycznej, więc po przejściu przez soczewkę załamuje się tak, aby przejść przez ognisko po prawej stronie. Drugi promień rysujemy tak, aby przechodził przez soczewkę na wysokości osi optycznej, więc nie ulega załamaniu. Punkt przecięcia tych dwóch promieni wyznacza położenie punktu A'.

Konstruując obraz z punktu B, dla wygody wyprowadźmy promienie ze środka kulki. Tak jak wcześniej, prowadzimy dwa promienie. Pierwszy z nich kierujemy tak, aby przechodził przez ognisko po lewej stronie soczewki, a po przejściu przez nią załamuje się tak, że po prawej stronie porusza się równolegle do osi optycznej. Drugi promień prowadzimy tak, aby przechodził przez soczewkę na wysokości osi optycznej, dzięki czemu nie ulega ugięciu. Punkt przecięcia tych dwóch promieni wyznacza położenie punktu B'.

Znając położenia punktów A' i B', możemy narysować obraz przedmiotu: w punkcie B' znajdzie się kulka, a w punkcie A' - strzałka. Na tej podstawie możemy wykonać rysunek.

Odpowiedź:

$2 .$

Naszym celem jest wykazanie, że jeżeli odległość przedmiotu i ekranu pozostają stałe i spełniony będzie pewien warunek, to mamy dwa położenia soczewki, dla których otrzymamy ostry obraz. Wiemy, że musi być spełniony warunek:

$l > 4 f$

gdzie:

$l$ - odległość między przedmiotem a ekranem,

$f$ - ogniskowa soczewki.

Wiemy, że odległość między przedmiotem a ekranem jest stała, a pomiędzy nimi znajduje się soczewka, więc możemy zapisać równanie:

$l = x + y$

gdzie:

$x$ - odległość soczewki od przedmiotu,

$y$ - odległość soczewki od ekranu.

Chcemy udowodnić, że są dwa różne położenia soczewki, w której otrzymamy obraz, więc możemy zapisać:

$x_{1} = x_{2}$

gdzie:

$x_{1}$ i $x_{2}$ - położenia soczewki, w których otrzymujemy obraz.

Wiemy, że odległość ekranu od soczewki - czyli odległość obrazu - oraz odległość przedmiotu od soczewki są ze sobą związane równaniem soczewki:

RÓWNANIE SOCZEWKI

Równanie soczewki opisuje zależności pomiędzy odległościami przedmiotu i obrazu od soczewki a długością ogniskowej. Ma ono postać:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

gdzie:

$f$ - ogniskowa soczewki,

$x$ - odległość przedmiotu od soczewki,

$y$ - odległość obrazu od soczewki.

Przekształćmy powyższe równanie tak, aby otrzymać równanie na odległość obrazu od soczewki:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ∣ - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{f} - \frac{1}{x} = \frac{1}{y}$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} = \frac{x}{f x} - \frac{f}{f x}$

$\frac{1}{y} = \frac{x - f}{f x}$

Odwracamy obie strony powyższego równania:

$y = \frac{f x}{x - f}$

Podstawiamy to równanie do wzoru na odległość między przedmiotem a ekranem i otrzymujemy:

$l = x + \frac{f x}{x - f}$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby pozbyć się ułamka:

$l = \frac{x \cdot ( x - f ) + f x}{x - f} ∣ \cdot (x - f)$

$l (x - f) = x^{2} - f x + f x$

$l x - l f = x^{2} ∣ - x^{2}$

$- x^{2} + l x - l f = 0$

Jak widzimy, jest to równanie kwadratowe.

FUNKCJA KWADRATOWA

Postać ogólna funkcji kwadratowej to:

$a x^{2} + b x + c = 0$

gdzie:

$a, b, c$ - liczby rzeczywiste, przy czym $a \neq = 0$ .

Delta równania kwadratowego ma postać:

$Δ = b^{2} - 4 a c$

Jeżeli $Δ < 0$ to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Jeżeli $Δ = 0$ to równanie ma jedno rozwiązanie:

$x_{1} = \frac{- b}{2 a}$

Jeżeli $Δ > 0$ to równanie ma dwa rozwiązania:

$x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$

$x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$

W naszym przypadku rozwiązania tego równania będą oznaczać odległości soczewki od przedmiotu. Chcemy pokazać, że istnieją dwa położenia soczewki, dla których powstaje ostry obraz, więc powyższe równanie musi mieć dwa rozwiązania - czyli delta musi być większa od zera. Dla naszego przypadku delta wynosi:

$Δ = l^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- l f) = l^{2} - 4 l f$

Chcemy, aby delta była większa od zera, więc możemy zapisać:

$l^{2} - 4 l f > 0$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać prostszą nierówność:

$l^{2} - 4 l f > 0 ∣ + 4 l f$

$l^{2} > 4 l f$

Wiemy, że $l$ określa odległość między ekranem i obrazem, zatem na pewno będzie większa od zera, więc możemy podzielić nierówność przez tą wartość:

$l^{2} > 4 l f ∣ : l$

$l > 4 f$

Jak widzimy, jest to dokładnie warunek podany na początku zadania. Oznacza to, że jeśli warunek ten jest spełniony, to otrzymamy obraz dla dwóch różnych położeń soczewki.