$1.$  

Naszym celem jest wykazanie, że promień okręgu, po jakim porusza się cząstką w jednorodnym polu magnetycznym, jest stały oraz jest dany wzorem:

$R=\frac{mv}{qB}$

gdzie:

$R$ - promień okręgu, po jakim porusza się cząstką,

$m$ - masa cząstki,

$v$ - szybkość cząstki,

$q$ - wartość ładunku cząstki,

$B$ - wartość indukcji magnetycznej.

W jednorodnym polu magnetycznym cząstka porusza się ze stałą szybkością oraz wartość indukcji tego pola ma również stałą wartość:

$v=\text{const}$ oraz $B=\text{const}$  

Siła Lorentza jest siłą magnetyczną działającą na naładowaną cząstkę, a jej wartość wyraża się wzorem:

$F_L=qvB\sin \alpha$  

gdzie:

$F_L$ - wartość siły Lorentza,

$v$ - wartość prędkości cząstki,

$q$ - wartość ładunku cząstki,

$B$ - wartość indukcji magnetycznej,

$\alpha$ - kąt pomiędzy wektorem prędkości a wektorem indukcji magnetycznej.

Zauważmy, że wektor indukcji magnetycznej jest prostopadły do wektora prędkości, z jaką porusza się cząstka. Z tego wynika, że wzór na wartość siły Lorentza możemy zapisać jako:  

$F_L=q\cdot v\cdot B\cdot \sin {90}^{\circ }$  

$F_L=q\cdot v\cdot B\cdot 1$  

$F_L=q\cdot v\cdot B$  

Wartość siły dośrodkowej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_d=\frac{m{v}^2}{R}$  

gdzie:

$F_d$ - wartość siły dośrodkowej,

$m$ - masa ciała,

$R$ - promień okręgu, po jakim porusza się ciało.

Siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej, dlatego możemy porównać wzory na wartości tych sił:

$F_L=F_d$  

$qvB=\frac{m{v}^2}{R}\mid :v$  

$qB=\frac{mv}{R}\mid \cdot R$

$qBR=mv\mid :qB$  

$R=\frac{mv}{qB}$  

Ponieważ wszystkie wartości po prawej stronie równania są stałe, promień okręgu, po którym porusza się cząstka, również ma stałą wartość, co należało wykazać

 

$2.$  

Jeżeli cząstka porusza się w innym ośrodku niż próżnia, to działa na nią siła oporu, która powoduje, że prędkość tej cząstki maleje. Ze wzoru na promień okręgu otrzymanego w poprzednim podpunkcie możemy stwierdzić, że jeśli szybkość malej to promień również.