Dane:

$R=100\Omega$    

 

$\text{1.}$  

Szukane:

$f=?$  

Rozwiązanie:

Mamy do czynienia ze źródłem prądu przemiennego, co oznacza, że prąd wypływający z tego źródła zmienia się sinusoidalnie. Układ prostowniczy powoduje, że zgodnie z wykresem ujemne wartości prądu zostają przekształcone na dodatnie, dzięki czemu prąd płynie zawsze w tym samym kierunku. Chcemy znaleźć okres tej funkcji, wiedząc, że prąd opisuje sinusoida, której ujemne wartości zostały odbite względem osi X. Analizując przebieg tej funkcji, możemy stwierdzić, że okres to czas między pierwszym a trzecim maksimum. Z wykresu odczytujemy momenty, w których funkcja osiąga te maksima:

▶ $t_1=0,005\text{s}$

▶ $t_2=0,025\text{s}$

gdzie:

$t_1$ - chwila czasu, w której wykres osiągnął pierwsze maksimum,

$t_2$ - chwila czasu, w której wykres osiągnął trzecie maksimum.

Okres będzie różnicą między tymi chwilami czasu: 

$T=t_2-t_1$

gdzie:

 $T$ - okres.

Podstawiając wartości liczbowe:

$T=0,025\text{s}-0,005\text{s}=0,02\text{s}$

Częstotliwość możemy przedstawić jako odwrotność okresu, czyli:

$f=\frac{1}{T}$  

gdzie:

$f$  - częstotliwość,

$T$  - okres.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f=\frac{1}{0,02\text{s}}=50\frac{1}{\text{s}}=50\text{Hz}$  

Odpowiedź: Częstotliwość zmian napięcia źródła prądu przemiennego wynosi 50 Hz.

 

$\text{2.}$  

Naszym zadaniem jest naszkicowanie wykresu zależności napięcia od czasu na żarówce.

Chwilowe napięcie prądu przemiennego wyraża się wzorem:

$U\left(t\right)=U_0\sin \left(\omega t\right)$  

gdzie:

$U\left(t\right)$  - funkcją zależności napięcia od czasu,

$U_0$  - napięcie maksymalne (amplituda),

$\omega$  - częstość zmian prądu,

$t$  - czas.

W naszym przypadku maksymalne napięcie obliczymy za pomocą zależności wynikające z prawa Ohma:

$U_0=I_{0}R$   

gdzie:

$I_0$  - natężenie maksymalne (amplituda natężenia), 

$R$  - opór żarówki.

Z wykresu dołączonego do zadania wiemy, że:

$I_0=0,5\text{A}$  

Oznacza to, że wartość maksymalnego napięcia na żarówce będzie wynosiła:

$U_0=0,5\text{A}\cdot 100\Omega =50\text{A}\cdot \Omega =50\text{V}$   

Mamy funkcję sinus:

$U\left(t\right)=50\text{V}\cdot \sin \left(\omega t\right)$  

Z poprzedniego podpunktu znamy okresowość funkcji, a co za tym idzie, możemy wyznaczyć charakterystyczne punkty dla naszego wykresu:

▶ $t_0=0$  

▶ $\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}\cdot 0,02\text{s}=0,005\text{s}$  

▶ $\frac{1}{2}T=\frac{1}{2}\cdot 0,02\text{s}=0,01\text{s}$  

▶ $\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}\cdot 0,02\text{s}=0,015\text{s}$  

▶ $T=0,02\text{s}$  

▶ $\frac{5}{4}T=\frac{5}{4}\cdot 0,02\text{s}=0,025\text{s}$  

▶ $\frac{5}{4}T=\frac{3}{2}\cdot 0,02\text{s}=0,003\text{s}$  

Z powyższych zależności wynika, że maksymalne i minimalne wartości osiągane przez funkcję sinus wynoszą:

$U_{\text{max}}=50\text{V}$   

$U_{\text{min}}=-50\text{V}$  

Wówczas dla tych charakterystycznych czasów otrzymamy:

▶ dla $t=0$  mamy $U\left(t\right)=0$ ,

▶ dla $t=\frac{1}{4}T$  mamy $U\left(t\right)=U_{\text{max}}$ ,

▶ dla $t=\frac{1}{2}T$  mamy $U\left(t\right)=0$ ,

▶ dla $t=\frac{3}{4}T$  mamy $U\left(t\right)=U_{\text{min}}$ ,

▶ dla $t=T$  mamy $U\left(t\right)=0$ ,

▶ dla $t=\frac{5}{4}T$  mamy $U\left(t\right)=U_{\text{max}}$ ,

▶ dla $t=\frac{3}{2}T$  mamy $U\left(t\right)=0$ .

Oznaczmy pomocniczo te wielkości na wykresie:

Naszkicujmy funkcję sinus:

Ze względu na układ prostowniczy nas interesują jedynie bezwzględne wartości tej funkcji:

$U\left(t\right)=\left|U_0\sin \left(\omega t\right)\right|$  

Graficznie otrzymamy ten efekt, gdy odbijemy ujemne wartości względem osi odciętych:

 

$\text{3.}$  

Dane:

$t=0,02\text{s}$  

Szukane:

$Q=?$  

Rozwiązanie:

Wartość ładunku przepływającego przez przewodnik w pewnym czasie przedstawiamy wzorem:

$Q=It$  

gdzie:

$Q$  - wartość ładunku,

$I$  - natężenie,

$t$  - czas przepływu.

Ponieważ mamy do czynienia z prądem przemiennym to będzie nas interesowało natężenie skuteczne prądu przemiennego. Natężenie skuteczne prądu sinusoidalnie zmiennego ma postać:

$I_{\text{s}}=\frac{I_0}{\sqrt{2}}$  

gdzie:

$I_{\text{s}}$  - natężenie skuteczne prądu przemiennego, 

$I_0$  - natężenie maksymalne osiągane przez prąd przemienny (amplituda).

Wartość $I_0$ odczytujemy z wykresu. Będą to punkty znajdujące się na szczycie pików i wynosi 0,5 A.

Wówczas dla naszego przypadku otrzymujemy, że wartość ładunku przepływającego przez żarówkę ma postać:

$Q=I_{\text{s}}t$  

$Q=\frac{I_0}{\sqrt{2}}t$  

$Q=\frac{I_{0}t}{\sqrt{2}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q=\frac{0,5\text{A}\cdot 0,02\text{s}}{\sqrt{2}}\approx \frac{0,01\text{A}\cdot \text{s}}{1,4142}=\frac{0,01\text{C}}{1,4142}\approx$  

$\approx 0,0070711356\text{C}\approx 0,00707\text{C}=$

 $=7,07\cdot {10}^{-3}\text{C}$

Odpowiedź: Wartość ładunku elektrycznego, jaki przepłynął przez żarówkę wynosi około 7,07∙10^-3 C.