Dane:

$U=25\text{V}$

$R_1=12\Omega$

$R_2=18\Omega$

$C_1=1\mu \text{F}$

$C_2=3\mu \text{F}$

Szukane:

$U_{R1}=?$

$U_{R2}=?$

$U_{C1}=?$

$U_{C2}=?$

 

$A.$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest znalezienie napięcia elektrycznego na poszczególnych elementach układu. W tym celu musimy najpierw zastanowić się, jak połączone są elementy obwodu.

Zauważ, że przez naładowane kondensatory nie płynie prąd. Gdy obwód jest otwarty, oporniki są połączone szeregowo, podobnie jak kondensatory. Oba te połączenia są względem siebie równoległe, więc odłoży się takie samo napięcie na opornikach co na kondensatorach.

Przez naładowany kondensator nie płynie prąd, więc cały prąd w układzie popłynie przez oporniki. W związku z tym można zastosować równanie na natężenie prądu wynikające z prawa Ohma:

$I=\frac{U}{R}$

gdzie:

$I$ - natężenie prądu,

$U$ - napięcie,

$R$ - opór.

Skorzystamy z tego wzoru dla obydwu oporników. Wiemy, że napięcie na końcach układu oporników jest równe napięciu na źrodle, podczas gdy ich opór zastępczy jest dany wzorem:

$R_z=\sum _{i=1}^{\text{n}}{R}_i$

gdzie:

$R_z$ - opór zastępczy,

$R_i$ - opór i-tego opornika,

$\text{n}$ - ilość oporników.

W naszym układzie mamy dwa oporniki, więc otrzymujemy:

$R_z=R_1+R_2$

Podstawiając to do wzoru na natężenie:

$I=\frac{U}{R_1+R_2}$

Wzór na napięcie wynikający z prawa Ohma ma postać dla i-tego opornika:

$U_i=R_{i}I$

Podstawiając otrzymane przez nas wyrażenie na I:

$U_i=R_i\frac{U}{R_1+R_2}$

Podstawiając odpowiednie wartości otrzymamy napięcie na odpowiednich opornikach:

$U_{R1}=\frac{R_{1}U}{R_1+R_2}=\frac{12\Omega \cdot 25\text{V}}{12\Omega +18\Omega }=$

$=\frac{300\cancel{\Omega }\text{V}}{30\cancel{\Omega }}=10\text{V}$

$U_{R2}=\frac{R_{2}U}{R_1+R_2}=\frac{18\Omega \cdot 25\text{V}}{12\Omega +18\Omega }=$

$=\frac{450\cancel{\Omega }\text{V}}{30\cancel{\Omega }}=15\text{V}$

Równanie na pojemność kondensatora ma postać:

$C=\frac{Q}{U}$

gdzie:

$C$ - pojemność kondensatora,

$Q$ - ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora,

$U$ - napięcie między okładkami kondensatora.

Ten wzór można przekształcić do postaci:

$C=\frac{Q}{U}|\cdot U$

$Q=CU$

Na każdym z szeregowo połączonych kondensatorów odkłada się ten sam ładunek:

$Q_1=Q_2$

Podstawiając wzór na ładunek otrzymany chwilę wcześniej mamy:

$C_1{U}_{C1}=C_2{U}_{C2}\left|:C_1\right|$

$U_{C1}=\frac{C_2}{C_1}{U}_{C2}$

W połączeniu szeregowym napięcia na kondensatorach sumują się według wzoru:

$U=\sum _{i=1}^{\text{n}}{U}_i$

gdzie:

$U$ - napięcie na końcach połączonych szeregowo kondensatorów,

$U_i$ - napięcie na i-tym kondensatorze.

Dla układu naszych kondensatorów mamy:

$U=U_{C1}+U_{C2}$

Podstawiając wyrażenie na napięcie na pierwszym kondensatorze otrzymujemy:

$U=\frac{C_2}{C_1}{U}_{C2}+U_{C2}=U_{C2}\left(\frac{C_2}{C_1}+1\right)|:\left(\frac{C_2}{C_1}+1\right)$

$U_{C2}=\frac{U}{\frac{C_2}{C_1}+1}$

Możemy teraz podstawić wartości liczbowe:

$U_{C2}=\frac{25\text{V}}{\frac{3\mu \text{F}}{1\mu \text{F}}+1}=\frac{25\text{V}}{3+1}=\frac{25\text{V}}{4}=6.25\text{V}$

Podstawiając otrzymaną wartość do równania na napięcie na pierwszym oporniku:

$U_{C1}=\frac{C_2}{C_1}{U}_{C2}=\frac{3\mu \text{F}}{1\mu \text{F}}\cdot 6.25\text{F}=3\cdot 6.25\text{F}=18.75\text{F}$ 

Odpowiedź: Na pierwszym oporniku odłożyło się napięcie 10 V, a na drugim 15 V. Na pierwszym kondensatorze napięcie między okładkami wyniosło 18.75 V, a na drugim 6.25 V.

 

$B.$

 Uzasadnienie: 

Zauważ, że gdy wyłącznik jest zamknięty, to pierwszy opornik jest połączony równolegle z pierwszym kondensatorem, a drugi opornik z drugim kondensatorem. W połączeniu równoległym napięcie w obu gałęziach będzie takie samo, co oznacza, że napięcie odłożone na pierwszym oporniku będzie takie samo, jak na pierwszym kondensatorze, a napięcie odłożone na drugim oporniku takie samo jak na drugim kondensatorze.

Napięcia na opornikach będą takie same jak w podpunkcie A, ponieważ opór poszczególnych oporników, opór zastępczy układu oraz napięcie na źródle nie uległy zmianie.

 Odpowiedź: 

Na pierwszym oporniku i pierwszym kondensatorze napięcie wynosi 10 V, a na drugim oporniku i drugim kondensatorze 15 V.