Dane:

$l=1,2\text{m}$  

$m=200\text{g}=0,2\text{kg}$  

$\alpha =5^{\circ }$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$,

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

 

$1.$  

 Uzasadnienie: 

Abu kulkę można było uznać, za wahadło matematyczne to masa nici, na której wisi musi być pomijalnie mała. Dlatego masa kulki powinna być znacznie większa od masy nici. Nić natomiast nie może być sprężysta i jej długość powinna być znacznie większa od promienia kulki.

 Odpowiedź: 

Kulkę można uznać za wahadło matematyczne tylko wtedy, gdy masa kulki jest znacznie większa od masy nici, długość nici jest znacznie większa od promienia kulki, nić jest nierozciągliwa.

 

$2.$  

Szukane:

$t=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie czasu ruchu kulki od maksymalnego wychylenia do przejścia przez położenie równowagi. Przeanalizujmy ruch wahadła w ciągu jednego okresu zakładając, że początkowo znajduje się w położeniu równowagi:

1) najpierw ciało z położenia równowagi przemieszcza się do jednego ze skrajnych wychyleń pokonując wówczas drogę odpowiadającą jednej amplitudzie, 

2) następnie od tego skrajnego wychylenia wraca do położenia równowagi ponownie pokonując drogę odpowiadającą jednej amplitudzie, 

3) kolejno z położenia równowagi wychyla się do drugiego skrajnego położenia kolejny raz pokonując drogę odpowiadającą jednej amplitudzie, 

4) na końcu ciało wraca do położenia równowagi po raz ostatni w cyklu pokonując drogę odpowiadającą jednej amplitudzie. 

Oznacza to, że w czasie jednego okresu wahadło cztery razy przemieszcza się od maksymalnego wychylenia od położenia równowagi. Zatem szukany czas otrzymamy obliczając czwartą część z okresu drgań:

$t=\frac{1}{4}T$

gdzie:

$t$ - czas ruchu kulki od maksymalnego wychylenia do przejścia przez położenie równowagi,

$T$ - okres drgań wahadła.

Okres ruchu drgań wahadła matematycznego przedstawiamy wzorem:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

gdzie:

$T$ - okres drgań wahadła,

$\pi$ - liczba π (pi),

$l$ - długość wahadła,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Wówczas otrzymamy, że czas ruchu wahadła ma postać:

$t=\frac{1}{4}T$

$t=\frac{1}{4}\cdot 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

$t=\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{l}{g}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{3,14}{2}\cdot \sqrt{\frac{1,2\sout{\text{m}}}{10\frac{\sout{\text{m}}}{{\text{s}}^2}}}=1,57\cdot \sqrt{0,12{\text{s}}^2}\approx$

$\approx 1,57\cdot 0,3464\text{s}=0,543848\text{s}\approx 0,54\text{s}$

Odpowiedź: Czas ruchu kulki od maksymalnego wychylenia do przejścia przez położenie równowagi wynosi około 0,54 s.