Dane:

$m=60\text{kg}$  

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

$\beta =2\alpha$

Szukane:

$N_{\text{A}}=?$

$N_{\text{B}}=?$  

Rozwiązanie:  

Chłopiec będzie działał na linę z siłą równą jego sile ciężkości. Zaznaczmy na rysunku siły działające na linę:

gdzie:

${\vec{F}}_{\text{g}}$   - siła ciężkości chłopaka,

${\vec{N}}_{\text{A}}$   - siła naciągu liny w punkcie A,

${\vec{N}}_{\text{B}}$   - siła naciągu liny w punkcie B.

Wiemy, że:

$\beta =2\alpha$  

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{\text{g}}=mg$ 

gdzie:

$F_{\text{g}}$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:

▶ wartość siły naciągu liny w punkcie A wynosi:

$\sin \alpha =\frac{N_{\text{A}}}{F_{\text{g}}}|\cdot F_{\text{g}}$

$F_{\text{g}}\sin \alpha =N_{\text{A}}$

$N_{\text{A}}=F_{\text{g}}\sin \alpha$

$N_{\text{A}}=mg\sin \alpha$

▶ wartość siły naciągu liny w punkcie B wynosi:

$\sin \beta =\frac{N_{\text{B}}}{F_{\text{g}}}|\cdot F_g$

$F_{\text{g}}\sin \beta =N_B$

$N_B=F_{\text{g}}\sin \beta$

$N_B=mg\sin \beta$

$N_B=mg\sin \left(2\alpha \right)$

Wyznaczmy kąt $\alpha$. Z rysunku możemy zauważyć również, że:

$\cos \alpha =\frac{N_{\text{B}}}{F_{\text{g}}}|\cdot F_{\text{g}}$

$F_{\text{g}}\cos \alpha =N_{\text{B}}$

$mg\cos \alpha =mg\sin \left(2{\alpha }_{}\right)$

$\cancel{mg}\cos \alpha =\cancel{mg}\sin \left(2\alpha \right)$

$\cos \alpha =\sin \left(2\alpha \right)$ 

 Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta otrzymamy:

$\cos \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cancel{\cos \alpha }=2\sin \alpha \cancel{\cos \alpha }$

$1=2\sin \alpha |:2$

$\frac{1}{2}=\sin \alpha$

$\sin \alpha =\frac{1}{2}$

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

$\alpha =30^{\circ }$

Podstawiamy dane liczbowe do wzorów na wartości sił: 

$N_{\text{A}}=60\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \frac{1}{2}=$

$=300\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=300\text{N}$

$N_{\text{B}}=60\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \sin \left(2\cdot 30^{\circ }\right)=$

$=600\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \sin 60^{\circ }=$

$=600\text{N}\cdot 0,866=519,6\text{N}$

Odpowiedź: Wartość siły naciągu liny w punkcie A wynosi 300 N, a w punkcie B wynosi 519,6 N.