Dane:

$f=8\cdot {10}^{14}\text{Hz}$  

$E_k=1,5\text{eV}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość prędkości światła w próżni: $c=3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$ ,

▶ zależność pomiędzy jednostkami energii: $1\text{eV}=1,602\cdot {10}^{-19}\text{J}$ ,

▶ stała Plancka: $h=6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$ .

Szukane:

${\lambda }_{\max }=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Korzystając z równania Einsteina wiemy, że dla zjawiska fotoelektrycznego zewnętrznego spełniona jest równość:

$E_{\text{f}}=W+E_{\text{k}}$  

gdzie:

$E_{\text{f}}$  - energia fotonu padającego na ciało stałe,

$E_{\text{k}}$  - energią kinetyczną wybitego z warstwy ciała elektronu,

$W$  - pracą wyjścia (energią niezbędną do uwolnienia elektronu z ciała).

Energię fotonu o podanej częstotliwości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$E_{\text{f}}=hf$  

gdzie:

$h$  - stała Plancka, 

$f$  - częstotliwość promieniowania. 

Zatem równość dla padającego światła z treści zadania przyjmuję postać:

$hf=W+E_{\text{k}}$  

 

Zauważmy, że wzór na energię fotonu o podanej długości fali przyjmuję postać:

$E_{\text{f}}=\frac{hc}{\lambda }$  

gdzie:

$h$  - stała Plancka, 

$c$  - wartość prędkości światła, 

$\lambda$  - długość fali padającego promieniowania. 

Zatem maksymalna możliwa długość fali padającego promieniowania jest wtedy kiedy energia fotonu jest najmniejsza. Jednakże nadal chcemy, aby padający foton (który będzie miał maksymalną długość fali) wybijał elektron. Zatem foton o największej długości fali musi posiadać energię równą pracy wyjścia dla danego materiału:

$E_{\text{f}}=W$  

$\frac{hc}{{\lambda }_{\max }}=W$  

 

Z opisanego w treści zadania padającego fotonu jesteśmy w stanie wyznaczyć wzór na pracę wyjścia:

$hf=W+E_{\text{k}}\text{|}-E_k$  

$W=hf-E_k$  

 

Zatem mamy równość na maksymalną długość fali:

$\frac{hc}{{\lambda }_{\max }}=W$  

$\frac{hc}{{\lambda }_{\max }}=hf-E_k\text{| : }hc$  

$\frac{1}{{\lambda }_{\max }}=\frac{f}{c}-\frac{E_k}{hc}\text{|}\cdot {\lambda }_{\max }$  

$1=\left(\frac{f}{c}-\frac{E_k}{hc}\right){\lambda }_{\max }\text{| : }\left(\frac{f}{c}-\frac{E_k}{hc}\right)$  

${\lambda }_{\max }=\frac{1}{\frac{f}{c}-\frac{E_k}{hc}}$  

${\lambda }_{\max }=\frac{1}{\frac{1}{c}\left(f-\frac{E_k}{h}\right)}$  

${\lambda }_{\max }=\frac{c}{f-\frac{E_k}{h}}$  

 

Wstawiamy dane i obliczamy:

${\lambda }_{\max }=\frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{8\cdot {10}^{14}\text{Hz}-\frac{1,5\text{eV}}{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}}}=$  

$=\frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{8\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}-\frac{1,5\cdot 1,602\cdot {10}^{-19}\text{J}}{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}}}=$  

$=\frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{8\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}-\frac{2,403\cdot {10}^{-19}\text{J}}{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}}}=$  

$=\frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{8\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}-\frac{2,403}{6,626}\cdot \frac{{10}^{-19}}{{10}^{-34}}\frac{1}{\text{s}}}=$  

$\approx \frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{8\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}-0,363\cdot {10}^{15}\frac{1}{\text{s}}}=$  

$=\frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{8\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}-3,63\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}}=$  

$=\frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{4,37\cdot {10}^{14}\frac{1}{\text{s}}}=$  

$=\frac{3}{4,37}\cdot \frac{{10}^8}{{10}^{14}}\frac{\frac{\text{m}}{\text{s}}}{\frac{1}{\text{s}}}=$  

$\approx 0,684989\cdot {10}^{-6}\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \text{s}\approx 685\cdot {10}^{-9}\text{m}=685\text{nm}$  

Odpowiedź: Maksymalna długość fali wynosi około 685 nm.