Dane:

$n_1=1$  

$n_2=1,5$  

$n_3=1,33$  

Szukane:

Dalszy bieg promienia i relacje między kątami.

Rozwiązanie:

W naszym przypadku musimy rozważyć przejścia pomiędzy dwoma ośrodkami:

1. powietrze-szkło,
2. szkło-woda.

 

Do wyznaczenia zależności kątów skorzystamy z prawa Snella:

Korzystając z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}$  

gdzie:

$\alpha$   - kąt padania,

$\beta$   - kąt załamania,

$v_1$  - szybkość światła w ośrodku padania,

$v_2$  - szybkość światła, w ośrodku, w którym światło ulega załamaniu,

$n_1$   - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada,

$n_2$   - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje. 

 

Granica ośrodków powietrze-szkło

Zgodnie z prawem Snella dla tej granicy ośrodków mamy:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{n_2}{n_1}$  

Wstawiamy znane wielkości:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{1,5}{1}$  

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=1,5$  

Zatem kąt  $\alpha$  jest większy od kąta załamania  $\beta$  :

$\alpha \text{>}\beta$  

 

Granica ośrodków szkło-woda

Zgodnie z prawem Snella dla tej granicy ośrodków mamy:

$\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }=\frac{n_3}{n_2}$  

Wstawiamy znane wielkości:

$\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }=\frac{1,33}{1,5}$  

$\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }\approx 0,8867$  

Zatem kąt załamania  $\gamma$  jest większy od kąta padania  $\beta$  :

$\gamma \text{>}\beta$  

 

Z dwóch powyższych przypadków mamy odpowiednio:

▶ Granica ośrodków powietrze-szkło

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=1,5\text{|}\cdot \sin \beta$  

$\sin \alpha =1,5\sin \beta$  

 

▶ Granica ośrodków szkło-woda

$\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }=\frac{1,33}{1,5}\text{|}\cdot \sin \gamma$  

$\sin \beta =\frac{1,33}{1,5}\sin \gamma$  

 

$\sin \alpha =1,5\sin \beta$  

$\sin \alpha =1,5\cdot \frac{1,33}{1,5}\sin \gamma$  

$\sin \alpha =1,33\sin \gamma \text{| : }\sin \gamma$  

$\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma }=1,33$  

Widzimy więc, że kąt  $\alpha$  jest większy od kąta  $\gamma$  :

$\alpha \text{>}\gamma$  

 

Chcąc naszkicować bieg promienia przechodzącego przez te dwie granice ośrodków najpierw narysujmy (linią przerywaną oznaczoną kolorem niebieskim) bieg promienia, gdyby na drodze nie było dwóch ośrodków:

Oznaczmy dodatkowo kąt padania  $\alpha$  oraz oś prostopadłą do granicy powietrze-woda:

Zgodnie z opisaną wyżej analizą kąt padania  $\alpha$  jest większy niż kąt załamania  $\beta$  . Zatem:

 

 

Teraz wiemy, że promień załamany pada pod kątem  $\beta$  na granicę ośrodków woda-szkło:

 

Z przeprowadzonej analizy wiemy, że kąt padający  $\beta$  jest mniejszy od kąta załamania  $\gamma$  . Zatem:

 

Odpowiedź: Ostatecznie bieg promienia wygląda następująco: