Dane:

$t=10\text{s}$  

$R_1=20\Omega$  

$R_2=30\Omega$  

W zadaniu 3.1 wyznaczyliśmy:

▶ Maksymalne natężenia prądów płynące w obwodzie

$I_{{\text{max}}_1}=0,3\text{A}$

$I_{{\text{max}}_2}=0,2\text{A}$

▶ Okres zmian napięcia

$T=0,04\text{s}$   

Z wykresów z zadania 3.1 odczytujemy, że w czasie jednego okresu prądy przez oporniki przepływają przez taki sam czas:

$t_x=0,02\text{s}$  

Szukane:

$Q=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Zgodnie z prawem Joule'a-Lenza ciepło wydzielone w obwodzie na skutek przepływu prądu o danym natężeniu skutecznym możemy wyrazić jako:

$Q=R\cdot I_{\text{sk}}^2\cdot t$  

gdzie:

$Q$ - ciepło wydzielone w obwodzie,

$R$  - opór obwodu,

$t$  - czas,

$I_{sk}$  - natężenie skuteczne.

Natężenia skuteczne wyznaczymy korzystając ze wzoru:

$I_{\text{sk}}=\frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}}$    

gdzie:

$I_{\max }$  - natężenie maksymalne.

Mamy zatem wzór na wydzielone ciepło w postaci:

$Q=R\cdot I_{\text{sk}}^2\cdot t$  

$Q=R\cdot {\left(\frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}}\right)}^2\cdot t$

$Q=R\cdot \left(\frac{I_{\text{max}}^2}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}\right)\cdot t$

$Q=R\cdot \frac{I_{\text{max}}^2}{2}\cdot t$  

$Q=\frac{1}{2}R{I}_{\text{max}}^{2}t$  

 

Rozpatrujemy ciepło $Q_1$ wydzielone przy przepływie prądu przez opornik $R_1$. Wiemy, że w trakcie trwania jednego okresu jedynie przez:

$t_x=0,02\text{s}$  

przepływa prąd przez opornik $R_1$. Zatem ciepło wydzielone w takim czasie opisuje wzór:

$Q_{x_1}=\frac{1}{2}{R}_1{I}_{{\text{max}}_1}^2{t}_x$  

Zauważmy, że jeżeli podzielimy cały czas  $t$  przez jeden okres prądu $T$  otrzymamy ilość razy w jakich napięcie przeskakuje od wartości dodatniej do ujemnej:

$n=\frac{t}{T}$  

 

Zatem  $n$  razy przepływa przez opornik $R_1$ natężenie o maksymalnej wartości  $I_{{\text{max}}_1}$   przez czas  $t_x$  . Zatem całkowite ciepło jakie zostanie wydzielone z tego opornika opisuje wzór:

$Q_1=n\cdot Q_{x_1}$  

$Q_1=\frac{t}{T}\cdot Q_{x_1}$  

$Q_1=\frac{t}{T}\cdot \frac{1}{2}{R}_1{I}_{{\text{max}}_1}^2{t}_x$  

$Q_1=\frac{1}{2}{R}_1{I}_{{\text{max}}_1}^2{t}_x\frac{t}{T}$  

 

Analogiczną analizę przeprowadzamy dla opornika $R_2$. Czas (w trakcie jednego okresu) w jakim przepływa przez opornik $R_2$ natężenie o maksymalnej wartości  $I_{{\text{max}}_2}$  jest taki sam jak dla opornika $R_1$. Zatem ciepło wydzielone przez ten opornik w trakcie jednego okresu opisuje wzór:

$Q_{x_2}=\frac{1}{2}{R}_2{I}_{{\text{max}}_2}^2{t}_x$  

Natomiast całkowite ciepło wydzielone przez ten opornik opisuje wzór:

$Q_2=n\cdot Q_{x_2}$  

$Q_2=\frac{t}{T}\cdot Q_{x_2}$  

$Q_2=\frac{t}{T}\cdot \frac{1}{2}{R}_2{I}_{{\text{max}}_2}^2{t}_x$  

$Q_2=\frac{1}{2}{R}_2{I}_{{\text{max}}_2}^2{t}_x\frac{t}{T}$  

 

Zatem całkowite ciepło wydzielone przez ten układ jest sumą ciepła wydzielonego przez opornik $R_1$ oraz $R_2$:

$Q=Q_1+Q_2$  

$Q=\frac{1}{2}{R}_1{I}_{{\text{max}}_1}^2{t}_x\frac{t}{T}+\frac{1}{2}{R}_2{I}_{{\text{max}}_2}^2{t}_x\frac{t}{T}$  

$Q=\frac{1}{2}\left(R_1{I}_{{\text{max}}_1}^2+R_2{I}_{{\text{max}}_2}^2\right)t_x\frac{t}{T}$  

Wstawiamy dane i obliczamy:

$Q=\frac{1}{2}\cdot \left(20\Omega \cdot {\left(0,3\text{A}\right)}^2+30\Omega \cdot {\left(0,2\text{A}\right)}^2\right)\cdot 0,02\text{s}\cdot \frac{10\text{s}}{0,04\text{s}}=$  

$=\frac{1}{2}\cdot \left(20\Omega \cdot 0,09{\text{A}}^2+30\Omega \cdot 0,04{\text{A}}^2\right)\cdot 0,02\text{s}\cdot 250=$  

$=\frac{1}{2}\cdot \left(1,8\Omega \cdot {\text{A}}^2+1,2\Omega \cdot {\text{A}}^2\right)\cdot 5\text{s}=$  

$=\frac{1}{2}\cdot 3\Omega \cdot {\text{A}}^2\cdot 5\text{s}=$  

$=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\Omega \cdot {\text{A}}^2\cdot \text{s}=7,5\text{J}$  

Odpowiedź: Całe wydzielone ciepło przez obwód w czasie 10 sekund wynosi 7,5 J.