Dane:

$d=1\text{cm}=0,01\text{m}$

$B=0,5\text{T}$

$v=10^5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$\alpha =60^{\circ }$

Szukane:

$t=\text{?}$   

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie czasu, w jakim proton będzie poruszał się w obszarze pola magnetycznego. Zauważmy, że obszar pola magnetycznego, w jednym z kierunków, ma długość $d$. Do wyznaczenia czasu $t$, w jakim proton przebywa w obszarze pola magnetycznego musimy znać jego trajektorię. Z rysunku podanego w treści zadania odczytujemy, że proton wlatuję do obszaru pola magnetycznego z prędkością $\vec{v}$ pod kątem $\alpha$ do linii pola magnetycznego. Prędkość protonu w polu magnetycznym rozkładamy na składowe: równoległą i prostopadłą do linii pola magnetycznego.

gdzie:

${\vec{v}}_{\perp }$ - składowa prędkości prostopadła do linii pola magnetycznego,

${\vec{v}}_{\parallel }$ - składowe prędkości równoległa do linii pola magnetycznego.

Na naładowaną cząstkę poruszająca się w polu magnetycznym działa siła magnetyczna zwana również siłą Lorentza.

WARTOŚĆ SIŁY MAGNETYCZNEJ Siła Lorentza jest siłą magnetyczną działającą na naładowaną elektrycznie cząstkę znajdująca się w jednorodnym polu magnetycznym. Wartość tej siły możemy przedstawić wzorem: $F_L=qvB\sin \alpha$ gdzie: $F_L$ - wartość siły Lorentza, $q$ - wartość ładunku cząstki poruszającej się w polu magnetycznym, $v$ - wartość prędkości cząstki, $B$ - wartość indukcji pola magnetycznego, $\alpha$ - kąt pomiędzy wektorem prędkości, a wektorem indukcji pola.

Z drugiej strony pamiętamy, że siła Lorentza jest siłą, która nie wykonuje pracy, zatem nie zmienia energii kinetycznej (a co za tym idzie również prędkości) naładowanej cząstki. Siła ta zmienia jedynie tor ruchu naładowanej cząstki.

Wynika więc z tego, że możemy teraz skupić się jedynie na ruchu jednostajnym wzdłuż linii pola magnetycznego, ponieważ w tym kierunku obszar pola magnetycznego ma określoną szerokość $d$. Wiemy, że proton porusza się w tym kierunku ze stałą prędkością ${\vec{v}}_{\parallel }$, zatem interesuje nas czas $t$, w jakim proton przebędzie tę odległość z prędkością ${\vec{v}}_{\parallel }$.

Ruch protonu w kierunku równoległym do linii pola magnetycznego

SZYBKOŚĆ W RUCHU JEDNOSTAJNYM W ruchu jednostajnym szybkość poruszającego się ciała możemy obliczyć za pomocą wzoru: $v=\frac{s}{t}$ gdzie: $v$ - szybkość ciała,  $s$ - droga przebyta przez ciało,  $t$ - czas ruchu ciała.

W naszym przypadku powyższy wzór przyjmie postać:

$v_{\parallel }=\frac{d}{t}$

Przekształcamy powyższy wzór:

$v_{\parallel }=\frac{d}{t}|\cdot t$

$v_{\parallel }t=d|:v_{\parallel }$

$t=\frac{d}{v_{\parallel }}$

Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych oraz z rysunku pomocniczego, zapisujemy:

$\frac{v_{\parallel }}{v}=\cos \alpha |\cdot v$

$v_{\parallel }=v\cos \alpha$

Wracamy do wzoru na czas $t$ i podstawiamy powyższy wzór:

$t=\frac{d}{v\cos \alpha }$

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy:

$t=\frac{0,01\text{m}}{10^5\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \cos 60^{\circ }}=$

$=\frac{0,01}{10^5\cdot 0,5}\frac{\text{m}}{\frac{\text{m}}{\text{s}}}=$

$=\frac{0,01}{0,5}\cdot \frac{1}{10^5}\cancel{\text{m}}\cdot \frac{\text{s}}{\cancel{\text{m}}}=$

$=0,02\cdot 10^{-5}\text{s}=$

$=0,2\cdot 10^{-1}\cdot 10^{-5}\text{s}=$

$=0,2\cdot 10^{-6}\text{s}=0,2\text{ms}$

lub:

$t=2\cdot 10^{-7}\text{s}$

Odpowiedź: Czas przebywania protonu w obszarze pola magnetycznego wynosi $0,2\text{ms}$ (lub $2\cdot 10^{-7}\text{s}$).