Uzasadnienie: 

W przypadku otwartego klucza wyłączony z obwodu zostanie opornik 3. Wiemy, że:

$R_1=R_2=R_3=R_4=R$  

gdzie:

$R$ - opór opornika.

Ponadto napięcie prądu na całym obwodzie również wynosi $U$ . Zaznaczmy natężenia prądów na rysunku 2:

Z tego wynika, że:

$I_4{}^{\prime }=\frac{U}{R_4}=\frac{U}{R}$  

gdzie:

$I_4^{\prime }$ - natężenie prądu przepływającego przez opór $R_4$,

$U$- napięcie zasilające. 

Opór zastępczy oporników 1 i 2 ma postać:

$R_{1,2}=R_1+R_2=R+R=2R$  

gdzie:

$R_{1,2}$ - opór zastępczy oporników o oporach $R_1$ i $R_2$.

Zatem opór zastępczy w tym przypadku dla całego obwodu wynosi:

$\frac{1}{R_z^{\prime }}=\frac{1}{R_{1,2}}+\frac{1}{R_4}$  

gdzie:

$R_z^{\prime }$ - opór zastępczy oporników o oporach $R_1$, $R_2$, $R_4$.

Zatem:

$\frac{1}{R_z^{\prime }}=\frac{1}{2R}+\frac{1}{R}$  

$\frac{1}{R_z^{\prime }}=\frac{1}{2R}+\frac{2}{2R}$  

$\frac{1}{R_z^{\prime }}=\frac{3}{2R}$  

$R_z^{\prime }=\frac{2}{3}R$  

Oznacza to, że:

$I{}^{\prime }=\frac{U}{R_z^{\prime }}=\frac{U}{\frac{2}{3}R}=\frac{3}{2}\frac{U}{R}$  

gdzie:

$I^{\prime }$ - natężenie prądu płynącego w całym obwodzie.

Zgodnie z prawem Kirchhoffa dla węzła A otrzymujemy, że:

$I_1^{\prime }+I_4^{\prime }=I^{\prime }$

gdzie:

$I_1^{\prime }$- natężenie prądu przepływającego przez opór $R_1$.

Stąd:

$I_1^{\prime }=I{}^{\prime }-I_4^{\prime }=\frac{3}{2}\frac{U}{R}-\frac{U}{R}=\frac{1}{2}\frac{U}{R}$  

Reasumując:

$I_1{}^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{U}{R}$  

$I_2{}^{\prime }=I_1{}^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{U}{R}$  

gdzie:

$I_2^{\prime }$ - natężenie prądu przepływającego przez opór $R_2$.

oraz:

$I_4^{\prime }=\frac{U}{R}$  

Zastanówmy się teraz nad napięciami. Wiemy, że napięcie pomiędzy węzłami A i D jest takie samo dla każdej z gałęzi, czyli:

$U_4^{\prime }=U_{1,2}^{\prime }=U$

gdzie:

$U_4^{\prime }$ - spadek napięcia na oporze $R_4$,

$U_{1,2}^{\prime }$ - spadek napięcia na oporach $R_1$ i $R_2$.

Ponadto napięcie pomiędzy węzłami A i D jest równe sumie napięć pomiędzy węzłami A i B (na oporniku 1) oraz B i D (na oporniku 2):

$U_{1,2}^{\prime }=U_1^{\prime }+U_2^{\prime }$

gdzie:

$U_1^{\prime }$ - spadek napięcia na oporze $R_1$,

$U_2^{\prime }$ - spadek napięcia na oporze $R_2$.

  Stąd:

$U_1{}^{\prime }+U_2{}^{\prime }=U$  

Ponieważ:

$U_1{}^{\prime }=R_1{I}_1{}^{\prime }=R\cdot \frac{1}{2}\frac{U}{R}=\frac{1}{2}U$  

To wówczas:

$U_2{}^{\prime }=U-U_1{}^{\prime }=U-\frac{1}{2}U=\frac{1}{2}U$  

Ponadto:

$U_4{}^{\prime }=U$  

Z poprzedniego zadania wiemy, że:

$I_1=\frac{2}{3}\frac{U}{R}$  

$2I_2=I_1\text{, czyli }{I}_2=\frac{1}{2}{I}_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\frac{U}{R}=\frac{1}{3}\frac{U}{R}$  

$I_4=\frac{U}{R}$  

Zatem wówczas napięcia na opornikach wynoszą:

$U_4=U$  

$U_1+U_{2,3}=U\text{, gdzie }{U}_{2,3}=U_2=U_3$  

Ponieważ:

$U_1=R_1{I}_1=R\frac{2}{3}\frac{U}{R}=\frac{2}{3}U$  

To:

$U_1+U_{2,3}=U$  

$U_2=U_3=U-U_1=U-\frac{2}{3}U=\frac{1}{3}U$  

Oznacza to, że:

$I_1=\frac{2}{3}\frac{U}{R}>I_1{}^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{U}{R}$  

$I_2=\frac{1}{3}\frac{U}{R}<I_2{}^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{U}{R}$  

$I_4=\frac{U}{R}=I_4{}^{\prime }=\frac{U}{R}$  

$U_1=\frac{2}{3}U>U_1{}^{\prime }=\frac{1}{2}U$  

$U_2=\frac{1}{3}U<U_2{}^{\prime }=\frac{1}{2}U$  

$U_4=U=U_4{}^{\prime }=U$  

 

 Odpowiedź: 

Opornik	Natężenie prądu (zmalało/wzrosło/nie zmieniło się)	Napięcie (zmalało/wzrosło/nie zmieniło się)
$R_1$	zmalało	zmalało
$R_2$	wzrosło	wzrosło
$R_4$	nie zmieniło się	nie zmieniło się