Instalację elektryczną podłączoną do akumulatora o sile...- Zadanie 5.: NOWA Teraz matura. Fizyka. Do matury 2024

Rozwiązanie

1. Zdanie jest PRAWDZIWE, ponieważ natężenie prądu płynącego w obwodzie z dwoma żarówkami nie przekracza natężenia prądu dopuszczalnego przez bezpiecznik.

▶ Siła elektromotoryczna akumulatora: $E = 12 V$

▶ Opór wewnętrzny: $r_{w} = 0, 1 Ω$

▶ Maksymalne natężenie prądu w obwodzie: $I_{max} = 5 A$

▶ Moc pierwszej żarówki: $P_{1} = 2 W$

▶ Moc drugiej żarówki: $P_{2} = 55 W$

Spadki napięć na żarówkach będą równe:

$U = E - r_{w} I$

gdzie:

$U$ - spadki napięć na żarówkach,

$E$ - SEM źródła napięcia,

$r_{w}$ - opór wewnętrzy źródła napięcia,

$I$ - natężenie prądu płynącego w obwodzie.

Natężenie prądu przepływającego przez każdą z żarówek miałoby postać:

$P_{1} = I_{1} U, czyli I_{1} = \frac{P _{1}}{U}$

$P_{2} = I_{2} U, czyli I_{2} = \frac{P _{2}}{U}$

gdzie:

$P_{1}, P_{2}$ - moce żarówek,

$I_{1}, I_{2}$ - natężenia prądu płynącego przez żarówki.

Zatem:

$I_{1} = \frac{P _{1}}{E - r _{w} I}$

$I_{2} = \frac{P _{2}}{E - r _{w} I}$

Żarówki połączone są ze sobą równolegle, czyli z I prawa Kirchhoffa otrzymujemy, że natężenie prądu płynącego przez ten obwód wynosiłoby wówczas:

$I = I_{1} + I_{2}$

gdzie:

$I$ - całkowite natężenie prądu płynącego w obwodzie.

Zatem:

$I = \frac{P _{1}}{E - r _{w} I} + \frac{P _{2}}{E - r _{w} I}$

$I = \frac{P _{1} + P _{2}}{E - r _{w} I}$

Zależność na natężenie prądu płynącego w obwodzie nie jest liniowa. Przekształcamy otrzymane równanie.

$I (E - r_{w} I) = P_{1} + P_{2}$

$E I - r_{w} I^{2} = P_{1} + P_{2}$

$- r_{w} I^{2} + E I - P_{1} - P_{2} = 0$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy rozwiązać. Podstawiamy wartości liczbowe do równania w jednostkach podstawowych Układu SI.

$- 0, 1 \cdot I^{2} + 12 \cdot I - 2 - 55 = 0$

$- 0, 1 \cdot I^{2} + 12 \cdot I - 57 = 0$

Rozwiązujemy powyższe równanie:

$Δ = 1 2^{2} - 4 \cdot (- 0, 1) \cdot (- 57) = 144 - 22, 8 = 121, 2$

$Δ = 121, 2 = 11, 009 1$

Obliczamy pierwiastki tego równania kwadratowego:

$I = \frac{- 12 \pm 11 , 0091}{2 \cdot ( - 0 , 1 )} = \frac{- 12 \pm 11 , 0091}{- 0 , 2} = 60 \pm 55, 0455$

Zatem otrzymujemy dwie możliwe wartości natężenia prądu płynącego w obwodzie.

$I = 115, 0455 A$

$I^{'} = 4, 9545 A$

Natężenie prądu płynącego w obwodzie jest wymuszane przez opory odbiorników włączonych do tego obwodu. Sprawdźmy jakie wartości oporów wynikają z obliczonych natężeń prądów.

Moc pierwszej żarówki wyraziliśmy jako:

$P_{1} = I_{1} U$

Zgodnie z prawem Ohma zapisujemy:

$I_{1} = \frac{U}{R _{1}}$

gdzie:

$R_{1}$ - opór pierwszej żarówki.

Stąd:

$P_{1} = \frac{U}{R _{1}} \cdot U$

$P_{1} = \frac{U ^{2}}{R _{1}}$

Korzystamy z zależności na napięcie zasilające żarówkę.

$P_{1} = \frac{( E - r _{w} I ) ^{2}}{R _{1}}$

Wyznaczamy zależność na opór żarówki.

$P_{1} R_{1} = (E - r_{w} I)^{2}$

$R_{1} = \frac{( E - r _{w} I ) ^{2}}{P _{1}}$

Analogiczne równanie otrzymamy na opór drugiej żarówki.

$R_{2} = \frac{( E - r _{w} I ) ^{2}}{P _{2}}$

Obliczamy wartości oporów żarówek, jakie spowodowałyby przepływ prądu $I$ oraz $I^{'}$ w obwodzie.

▶ Dla wartości natężenia prądu: $I = 115, 0455 A$

$R_{1} = \frac{( 12 V - 0 , 1 Ω \cdot 115 , 0455 A ) ^{2}}{2 W} = \frac{( 0 , 49545 V ) ^{2}}{2 W} \approx \frac{0 , 24547 V ^{2}}{2 W} \approx 0, 123 Ω$

$R_{2} = \frac{( 12 V - 0 , 1 Ω \cdot 115 , 0455 A ) ^{2}}{55 W} = \frac{( 0 , 49545 V ) ^{2}}{55 W} \approx \frac{0 , 24547 V ^{2}}{55 W} \approx 0, 004 Ω$

▶ Dla wartości natężenia prądu: $I^{'} = 4, 9545 A$

$R_{1}^{'} = \frac{( 12 V - 0 , 1 Ω \cdot 4 , 9545 A ) ^{2}}{2 W} = \frac{( 11 , 50455 V ) ^{2}}{2 W} \approx \frac{132 , 35467 V ^{2}}{2 W} \approx 66, 2 Ω$

$R_{2}^{'} = \frac{( 12 V - 0 , 1 Ω \cdot 4 , 9545 A ) ^{2}}{55 W} = \frac{( 11 , 50455 V ) ^{2}}{55 W} \approx \frac{132 , 35467 V ^{2}}{55 W} \approx 2, 4 Ω$

Zauważamy, że pierwszym przypadku opory wymuszające duże natężenie prądu są bardzo małe. W praktyce nie jest możliwe skonstruowanie żarówek o takich oporach. Typowe wartości oporów żarówek otrzymujemy w drugim przypadku, kiedy przez obwód płynie mniejsze natężenie prądu (natężenie to jest mniejsze od 5 A). Drugi przypadek opisuje fizyczne parametry żarówek omawianych w zadaniu.

Zatem bezpiecznik dopuszczający maksymalne natężenie prądu w obwodzie wynoszące 5 A umożliwi jednoczesną pracę takich żarówek.

2. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ jeżeli odłączymy jedną żarówkę to spowodujemy zmianę oporu zewnętrznego w obwodzie. To spowoduje zmianę natężenia prądu płynącego przez układ co z kolei wpłynie na zmianę spadku napięcia na oporze wewnętrznym.

Prawo Ohma dla całego obwodu ma postać:

$U = E - r_{w} I$

gdzie:

$U$ - napięcie na zaciskach akumulatora,

$E$ - SEM źródła napięcia,

$r_{w}$ - opór wewnętrzy źródła napięcia,

$I$ - natężenie prądu płynącego w obwodzie.

Z tego wynika, że zmiana natężenia $I$ spowoduje zmianę napięcia na zaciskach.

3. Zdanie jest FAŁSZYWE, ponieważ żeby naładować akumulator prąd powinien płynąć w przeciwnym kierunku niż w czasie zasilania oraz napięcie zasilacza musi być większe niż SEM akumulatora.