Dane:

$h_0=8\text{cm}$  

$d_w=1\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$  

$d_o=0,82\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$  

Szukane:

$H=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Najpierw rysujemy schematyczny rysunek sytuacji po dolaniu oleju:

gdzie:

🟪 Jasna ciecz - woda.

🟪 Ciemna ciecz - olej.

🟪 $x$ - wysokość słupka wody od poziomu A, o którą zmienił się poziom wody w prawej rurce, po wlaniu oleju. 

🟪 poziom $A$ - granica między olejem a wodą.

🟪 Górny koniec rurki po prawej stronie znajduje się $8\text{cm}$ nad powierzchnią wody w lewym ramieniu – oznaczone jako $h_0=8\text{cm}$ h0=8 cmh_0 = 8 \, \text{cm.

🟪 $H$ - poziom w rurce zajmowany przez olej.

 

Ciśnienia na poziomie $A$ na rysunku wynoszą odpowiednio:

▶ Ciśnienie w lewym słupku:

$p_L=p_{at}+p_w$  

gdzie:

$p_L$ - ciśnienie w lewej części rurki,

$p_{at}$  - ciśnienie atmosferyczne,

$p_w$  - ciśnienie jakie wywiera słupek wody o wysokości  $l$  na poziomie $A$.

▶ Ciśnienie w prawym słupku:

$p_R=p_{at}+p_o$  

gdzie:

$p_R$ - ciśnienie w prawej części rurki,

$p_o$  - ciśnienie jakie wywiera słupek oleju o wysokości  $H$  na poziomie $A$.

Zgodnie z prawem Pascala ciśnienia na poziomie $A$ (oznaczonym na rysunku) będą takie same. Zatem:

$p_L=p_R$  

$p_{at}+p_w=p_{at}+p_o\mid -p_{at}$  

$p_w=p_o$  

Ciśnienie hydrostatyczne przedstawiamy wzorem:

$p=dgh$  

gdzie:

$p$ - ciśnienie hydrostatyczne,

$d$  - gęstość cieczy wywierającej parcie na dno naczynia,

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego, 

$h$  - wysokość słupa cieczy, która wywiera ciśnienie hydrostatyczne na rozważanej głębokości.

Mamy więc odpowiednio:

$p_w=p_o$  

$d_{w}g{h}_w=d_{o}g{h}_o\mid g$  

$d_w{h}_w=d_o{h}_o$  

Opierając się na oznaczeniach z rysunku mamy:

$d_{w}l=d_{o}H$  

$d_{w}2x=d_o\left(x+h_0\right)$  

$d_{w}2x=d_{o}x+d_o{h}_0\mid -d_{o}x$  

$d_{w}2x-d_{o}x=d_o{h}_0$  

$x\left(2d_w-d_o\right)=d_o{h}_0\mid :\left(2d_w-d_o\right)$  

$x=\frac{d_o{h}_0}{2d_w-d_o}$  

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

$x=\frac{0,82\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^{\underset{\cancel{3}}{\stackrel{2}{}}}}\cdot 8\cancel{\text{cm}}}{2\cdot 1\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}-0,82\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}}=\frac{6,56\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^2}}{1,18\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}}\approx 5,56\text{cm}$  

 

Z rysunku wiemy, że:

$H=x+h_0$  

Zatem wysokość słupa oleju wynosi około:

$H=5,56\text{cm}+8\text{cm}=13,56\text{cm}$  

Odpowiedź: Maksymalna wysokość słupa oleju wynosi około $13,56\text{cm}$.