Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest przedstawienie na wykresie zależności wysokości środka ciężkości samochodziku nad powierzchnią toru od czasu. Niech $r$  będzie odległością środka ciężkości samochodziku od środka pętli w chwili początkowej :

$r=R-H$  

gdzie:

$r$ - odległość środka ciężkości samochodziku od środka pętli w chwili początkowej,

$H$ - wysokość środka ciężkości samochodziku nad torem,

$R$ - promień pętli.

Samochodzik porusza się z pewną stałą wartością prędkości liniowej, podczas ruchu w pętli porusza się po okręgu z pewną wartością prędkości kątowej. Wartość prędkości kątowej ciała w ruchu po okręgu możemy przedstawić za pomocą wartości prędkości liniowej zależnością:

$\omega =\frac{v}{r}$ 

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej, 

$v$ - wartość prędkości liniowej, 

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało. 

Wartość prędkości kątowej samochodzika będzie miała postać:

$\omega =\frac{v}{r}$

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej samochodzika w pętli, 

$v$ - wartość prędkości liniowej samochodzika, 

$r$ - odległość środka ciężkości samochodziku od środka pętli w chwili początkowej.

Wartość prędkości kątowej w zależności od okresu wyrażamy jako:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej,

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres drgań.

Zatem:

$\omega =\frac{2\pi }{T}|\cdot T$

gdzie:

$T$ - okres okrążenia pętli przez samochodzik.

$T\omega =2\pi |:\omega$

$T=\frac{2\pi }{\omega }$  

Podstawiając $\omega =\frac{v}{r}$:

$T=\frac{2\pi }{\frac{v}{r}}$  

$T=\frac{2\pi r}{v}$  

Podstawiamy wyznaczoną wcześniej zależność na $r=R-H$.

$T=\frac{2\pi \left(R-H\right)}{v}$  

Obliczmy, ile wynosił jeden okres przebycia pętli przez samochodzik. Zgodnie z treścią zadania, wiemy, że wartość prędkości samochodziku wynosiła $v=2\frac{\text{m}}{\text{s}}$, promień pętli wynosił $R=30\text{cm}=0,3\text{m}$, a środek ciężkości samochodzika znajdowała się  $H=1\text{cm}=0,01\text{m}$ nad powierzchnią toru. Podstawmy te dane liczbowe:

$T=\frac{2\pi \left(0,3\text{m}-0,01\text{m}\right)}{2\frac{\text{m}}{\text{s}}}=$  

$=\frac{\cancel{2}\pi \cdot 0,29\text{m}}{\cancel{2}\frac{\text{m}}{\text{s}}}=$

$=\frac{\pi \cdot 0,29\cancel{\text{m}}}{1\frac{\cancel{\text{m}}}{\text{s}}}=$

$=0,29\pi \text{s}$

Wyznaczmy kąt, jaki samochodzik zakreśli w pewnym czasie $t$. Kąt, jaki zakreśla ciało, w ruchu po okręgu, w pewnym czasie przedstawiamy wzorem:

$\alpha =\omega t$

gdzie:

$\alpha$ - kąt, jaki zakreśla ciało,

$\omega$ - wartość prędkości kątowej,

$t$ - czas ruchu.

Kąt, jaki w czasie $t$ zakreśli samochodzik, będzie miał postać:

$\alpha =\omega t$  

gdzie:

$\alpha$ - kąt zakreślony przez samochodzik w czasie,

$t$ - czas ruchu.

Podstawiając $\omega =\frac{2\pi }{T}$:

$\alpha =\frac{2\pi }{T}t$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$H$ - wysokość środka ciężkości samochodzika nad poziomem toru,

$h\left(t\right)$ - wysokość środka ciężkości samochodzika nad powierzchnią toru po czasie $t$,

$r$ - odległość środka ciężkości samochodziku od środka pętli w chwili początkowej,

$y$ - odległość środka pętli od poziomo, w którym znajduje się środek masy samochodzika w chwili $t$,

$x$ - odległość środka masy samochodzika w czasie $t$ od poziomu, w którym znajdował się środek masy samochodzika w chwili początkowej,

$\alpha$ - kąt, jaki zakreślił samochodzik w czasie $t$,

$R$ - promień pętli.

Korzystając z rysunku, możemy zauważyć, że:

$h\left(t\right)=H+x$  

Ponieważ $x+y=r$  to:

$x+y=r\mid -y$  

$x=r-y$  

Korzystając z funkcji trygonometrycznych, możemy zapisać, że:

$\cos \alpha =\frac{y}{r}|\cdot r$

$r\cos \alpha =y$  

$y=r\cos \alpha$

Zatem:

$h\left(t\right)=H+x$  

$h\left(t\right)=H+\left(r-y\right)$  

$h\left(t\right)=H+r-r\cos \alpha$  

$h\left(t\right)=H+r\left(1-\cos \alpha \right)$  

Podstawiając $r=R-H$ oraz $\alpha =\frac{2\pi }{T}t$:

$h\left(t\right)=H+\left(R-H\right)\left(1-\cos \left(\frac{2\pi }{T}t\right)\right)$  

Podstawmy znane dane liczbowe do wyprowadzonego wzoru (bez jednostek układu SI).

$h\left(t\right)=0,01+\left(0,3-0,01\right)\left(1-\cos \left(\frac{2\cancel{\pi }}{0,29\cancel{\pi }}t\right)\right)$  

$h\left(t\right)=0,01+0,29\left(1-\cos \left(6,9t\right)\right)$  

$h\left(t\right)=0,01+0,29-0,29\cos \left(6,9t\right)$  

$h\left(t\right)=0,3-0,29\cos \left(6,9t\right)$  

Naszym zadaniem jest sporządzenie wykresu dla jednego okresu ruchu. W chwili początkowej $t=0$ wysokość przyjmuje wartość minimalną:

$h\left(0\right)=0,3-0,29\cos \left(6,9\cdot 0\right)=$  

$=0,3-0,29\cdot 1=$

$=0,01\text{m}$

W chwili końcowej $t=T$ wysokość również przyjmuje wartość minimalną:

$h\left(0,29\pi \right)=0,3-0,29\cos \left(6,9\cdot 0,29\pi \right)=$

$=0,3-0,29\cos \left(2\pi \right)=$

$=0,3-0,29\cdot 1=$

$=0,01\text{m}$

Gdy funkcja cosinus przyjmie wartość $-1$, wysokość będzie maksymalna, obliczmy, dla jakiego czasu funkcja przyjmie wartość maksymalną:

$h\left(t\right)=0,3-0,29\cdot \left(-1\right)=0,59\text{m}$  

$\cos \left(6,9\cdot t\right)=-1$

Funkcja cosinus przyjmuje wartość $-1$ dla kąta:

$6,9\cdot t=\pi |:6,9$

$t=\frac{\pi }{6,9}\approx 0,46\text{s}$

Zaznaczmy te punkty na wykresie i narysujmy funkcję $h\left(t\right)=0,3-0,29\cos \left(6,9t\right)$ łącząc te punkty:

 Odpowiedź: 

Sporządźmy wykres funkcji $h\left(t\right)$: