Dane:

$V=0,5{\text{m}}^3$  

$\rho =940\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

$M_1=30\text{kg}$  

$m=57,5\text{kg}$  

$l=2\text{m}$  

Szukane:

$x=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie odległości, o jaką należy zmienić punkt podparcia dźwigni, aby pozostawała ona w równowadze, gdy wyjmiemy z cieczy drewniany klocek. Wykonajmy schematyczny rysunek, na którym zaznaczymy siły działające na dźwignię w pierwszym przypadku:

Na dźwignię działają siły:

▶ ${\vec{F}}_1$  - siła równoważąca ciężar obciążnika, której wartość będzie wynosiła:

$F_1=F_{g.1}$  

$F_1=M_{1}g$

gdzie: 

$M_1$ - masa obciążnika, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

▶ ${\vec{F}}_g$  - siła ciężkości dźwigni o wartości:

$F_g=mg$  

gdzie: 

$m$ - masa dźwigni. 

▶ ${\vec{F}}_{wyp}$  - siła będąca siłą wypadkową sił ciężkości ${\overrightarrow{F}}_{g.M}$  i ${\overrightarrow{F}}_w$  wyporu drewnianego klocka. Jej wartość będzie miała postać:

$F_{wyp}=F_{g.M}-F_w$  

gdzie: 

$F_{g.M}$ - wartość ciężaru drewnianego klocka, 

$F_w$ - wartość siły wyporu.

Siła wyporu działa na ciało zanurzone w płynie. Jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało:

$F_w=\rho gV$ 

gdzie: 

$\rho$ - gęstość cieczy, w której znajduje się ciało,  

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,  

$V$ - objętość wypartej cieczy równa objętości części ciała zanurzonego w płynie. 

Zatem wartość siły wypadkowej działającej na dźwignię (oraz klocek zanurzony w cieczy) ma postać:

$F_{wyp}=F_{g.M}-\rho gV$  

Wszystkie te siły są prostopadłe do ramion odległości od osi obrotu. Zatem wartości momentów sił pochodzących od poszczególnych sił względem osi O w ogólnym przypadku mają postać:

$M=rF$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły, 

$r$ - ramię siły, 

$F$ - wartość siły, której moment określamy. 

Rozważamy poszczególne momenty sił działających na dźwignię:

▶ moment siły pochodzący od siły równoważącej ciężar obciążnika.

Siła ma wartość $F_{g.1}$ oraz jest jej punkt przyłożenia jest odległy od osi obrotu o długość równą połowie długości dźwigni, czyli $\frac{1}{2}l$. Zatem wartość tego momentu siły ma postać.

$M_{g.1}=\frac{1}{2}l{F}_{g.1}$  

$M_{g.1}=\frac{1}{2}l{M}_{1}g$

gdzie: 

$M_{g.1}$ - wartość momentu siły równoważącej ciężar obciążnika, 

$l$ - długość dźwigni.

▶ moment siły pochodzący od siły ciężkości dźwigni.

Siła ciężkości dźwigni ma punkt przyłożenia w osi obrotu tej dźwigni. Wówczas długość ramienia siły jest zerowa. Oznacza to, że wartość momentu siły dla tego przypadku ma postać: 

$M_g=0\cdot F_g$

$M_g=0$

gdzie:

$M_g$ - wartość momentu siły ciężaru dźwigni.  

▶ moment siły pochodzący od siły wypadkowej działającej na dźwignię. 

Siła wypadowa działająca na dźwignię ma wartość $F_{wyp}$ i podobnie, jak siła równoważąca ciężar obciążnika odległa jest od osi obrotu o długość odpowiadającą połowie długości dźwigni. Wówczas moment siły pochodzący od tej siły ma postać:

$M_{wyp}=\frac{1}{2}l{F}_{wyp}$

$M_{wyp}=\frac{1}{2}l\left(F_{g.M}-\rho gV\right)$

gdzie: 

$M_{wyp}$ - wartość momenty siły wypadkowej. 

Ponieważ układ pozostaje w równowadze oraz zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej momenty sił ${\vec{M}}_{g.1}$  i ${\vec{M}}_{wyp}$  mają przeciwne zwroty to otrzymujemy równanie, z którego możemy wyznaczyć, jak na razie jedyną niewiadomą, czyli wartość siły ciężkości drewnianego kloca:

$M_{wyp}=M_{g.1}$  

$\cancel{\frac{1}{2}l}\left(F_{g.M}-\rho gV\right)=\cancel{\frac{1}{2}l}{M}_{1}g$  

$F_{g.M}-\rho gV=M_{1}g\mid +\rho gV$  

$F_{g.M}=M_{1}g+\rho gV$  

Następnie drewniany kloc został wyjęty z cieczy i zmieniono położenie punktu zawieszenia, aby układ pozostawał w równowadze:

Zauważmy, że wówczas ciężar drewnianego kloca nie ulega zmianie i nadal opisany jest równaniem, które wyznaczyliśmy, gdy był on zanurzony w cieczy. 

W tym przypadku z prawej strony, na dźwignię działa siła równoważąca siłę ciężkości drewnianego klocka, której wartość będzie wynosiła:

$F_2=F_{g.M}$  

$F_2=M_{1}g+\rho gV$  

Zatem w tym przypadku momenty sił działających na dźwignię względem osi O' mają wartości:

▶ moment siły pochodzący od siły równoważącej ciężar obciążnika - zmieni się, ponieważ zmienia się oś obrotu i punkt przyłożenia siły jest wówczas odległy od osi obrotu o $\frac{1}{2}l+x$. W takim przypadku moment siły ma postać:

$M_1=\left(\frac{1}{2}l+x\right)F_1$

$M_1=\left(\frac{1}{2}l+x\right)M_{1}g$  

gdzie: 

$M_{g.1}^{\prime }$ - wartość momentu siły równoważącej ciężar obciążnika po zmianie punktu podparcia dźwigni,

$x$ - odległość o jaką zmieniono punkt podparcia dźwigni.  

▶ moment siły pochodzący od ciężaru dźwigni. 

Punkt przyłożenia siły ciężkości dźwigni o wartości $F_g$ jest w tym przypadku odległy od osi obrotu o $x$. W takim przypadku moment siły ma wartość:

$M_g=x{F}_g$

$M_g=xmg$

▶ moment siły pochodzący od siły równoważącej ciężar drewnianego klocka.

Siła równoważąca ciężar klocka ma wartość $F_2$ oraz punkt jej przyłożenia jest odległy od osi obrotu o $\frac{1}{2}l-x$. Zatem wartość momentu siły ma postać:

$M_{g.2}^{\prime }=\left(\frac{1}{2}l-x\right)F_2$

$M_{g.2}^{\prime }=\left(\frac{1}{2}l-x\right)\left(M_{1}g+\rho gV\right)$

gdzie:

$M_{g.2}^{\prime }$ - wartość momentu sił pochodzący od siły równoważącej ciężar drewnianego klocka. 

Zauważmy, że momenty sił ${\overrightarrow{M^{\prime }}}_{g.1}$ i ${\vec{M}}_g$  mają przeciwny zwrot niż wartość momentu siły ${\vec{M}}_{g.2}^{\prime }$ . Wówczas z równowagi układu otrzymujemy równanie:

${M^{\prime }}_{g.1}+M_g=M_{g.2}^{\prime }$  

Wyznaczmy odległość $x$ , o jaką zmieniono położenie osi obrotu dźwigni, aby pozostała w równowadze:

$\left(\frac{1}{2}l+x\right)M_{1}g+xmg=\left(\frac{1}{2}l-x\right)\left(M_{1}g+\rho gV\right)$  

$\frac{1}{2}l{M}_{1}g+x{M}_{1}g+xmg=\frac{1}{2}l\left(M_{1}g+\rho gV\right)-x\left(M_{1}g+\rho gV\right)$  

$\cancel{\frac{1}{2}l{M}_{1}g}+x{M}_{1}g+xmg=\cancel{\frac{1}{2}l{M}_{1}g}+\frac{1}{2}l\rho gV-x{M}_{1}g-x\rho gV$  

$x{M}_1\cancel{g}+xm\cancel{g}=\frac{1}{2}l\rho \cancel{g}V-x{M}_1\cancel{g}-x\rho \cancel{g}V$  

$x{M}_1+xm=\frac{1}{2}l\rho V-x{M}_1-x\rho V\mid +x{M}_1+x\rho V$  

$2x{M}_1+xm+x\rho V=\frac{1}{2}l\rho V$  

$x\left(2M_1+m+\rho V\right)=\frac{1}{2}l\rho V\mid :\left(2M_1+m+\rho V\right)$  

$x=\frac{l\rho V}{2\left(2M_1+m+\rho V\right)}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=\frac{2\text{m}\cdot 940\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 0,5{\text{m}}^3}{2\cdot \left(2\cdot 30\text{kg}+57,5\text{kg}+940\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 0,5{\text{m}}^3\right)}=$  

$=\frac{940\text{kg}\cdot \text{m}}{2\cdot \left(60\text{kg}+57,5\text{kg}+470\text{kg}\right)}=\frac{940\text{kg}\cdot \text{m}}{2\cdot 587,5\text{kg}}=$  

$=\frac{940\text{kg}\cdot \text{m}}{1175\text{kg}}=0,8\text{m}$  

Odpowiedź: Odległość, o jaką zmieniono położenie osi obrotu dźwigni wynosi 0,8 m.