Dane:

$T=1,6\mathrm{s}$  

$A=0,2\mathrm{m}$  

$t=2\mathrm{s}$  

$\phi =0$  

Szukane:

$x=?$

$v_x=?$

$a_x=?$

Rozwiązanie:

Częstość kołową drgań wyrażamy jako:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

gdzie:

$\omega$ - częstość kołowa drgań,

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres drgań.

Wychylenie ciała w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$

gdzie: 

$x\left(t\right)$ - wychylenie ciała po zadanym czasie, 

$t$ - czas, 

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań,  

$\phi$ - faza ruchu.

Wstawiamy wzór na okres drgań oraz uwzględniamy brak fazy początkowej ruchu:

$x\left(t\right)=A\cdot \sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$  

Wstawiamy dane dla chwili $t$ równej 2 sekundy:

$x=0,2\mathrm{m}\cdot \sin \left(\frac{2\pi }{1,6\cancel{\mathrm{s}}}\cdot 2\cancel{\mathrm{s}}\right)=$

$=0,2\mathrm{m}\cdot \sin \left(2,5\pi \right)=0,2\mathrm{m}\cdot \sin \left(2\pi +\frac{\pi }{2}\right)$

Korzystamy z wzoru redukcyjnego $\sin \left(2\pi +\alpha \right)=\sin \alpha$:

$x=0,2\mathrm{m}\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=0,2\mathrm{m}\cdot 1=0,2\mathrm{m}$

Wartość prędkości ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t+\phi \right)$

gdzie: 

$v\left(t\right)$ - wartość prędkości ciała po zadanym czasie.

Wstawiamy wzór na okres drgań oraz uwzględniamy brak fazy początkowej ruchu:

$v\left(t\right)=A\frac{2\pi }{T}\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$   

Wstawiamy dane dla chwili $t$ równej 2 sekundy:

$v=0,2\mathrm{m}\cdot \frac{2\cdot 3,14}{1,6\mathrm{s}}\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{1,6\cancel{\mathrm{s}}}\cdot 2\cancel{\mathrm{s}}\right)=$

$=0,785\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \cos \left(2,5\pi \right)=0,785\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \cos \left(2\pi +\frac{\pi }{2}\right)=$

Korzystamy z wzoru redukcyjnego $\cos \left(2\pi +\alpha \right)=\cos \alpha$:

$v=0,785\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0,785\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 0=0\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Wartość przyspieszenia ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$a\left(t\right)=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t+\phi \right)$

gdzie: 

$a\left(t\right)$ - wartość przyspieszenia ciała po zadanym czasie.

Wstawiamy wzór na okres drgań oraz uwzględniamy brak fazy początkowej ruchu:

$a\left(t\right)=-A{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$   

$a\left(t\right)=-\frac{4A{\pi }^2}{T^2}\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$

Wstawiamy dane dla chwili $t$ równej 2 sekundy:

$a=-\frac{4\cdot 0,2\mathrm{m}\cdot {3,14}^2}{{\left(1,6\mathrm{s}\right)}^2}\cdot \sin \left(\frac{2\pi }{1,6\cancel{\mathrm{s}}}\cdot 2\cancel{\mathrm{s}}\right)=$   

$=-\frac{7,88768\mathrm{m}}{2,56{\mathrm{s}}^2}\cdot \sin \left(2,5\pi \right)\approx$

$\approx -3,08\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \sin \left(2\pi +\frac{\pi }{2}\right)\approx$  

$\approx -3,08\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\frac{}{{}^{}}\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)\approx$

$\approx -3,08\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\frac{}{{}^{}}\cdot 1\approx -3,08\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

Odpowiedź: Wychylenie ciała wynosi 0,2 m, prędkość ma wartość 0 m/s, a przyspieszenie około -3,08 m/s².