Dane:

$x=3\mathrm{cm}=0,03\mathrm{m}$

$a=2\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$x_a=?$

Rozwiązanie:

W nieruchomej windzie wydłużenie sprężyny spowodowane jest działaniem na ciężarek siły ciężkości. Ciężarek pozostaje nieruchomy, co oznacza, że działające na niego siły się równoważą - siła ciężkości jest równoważona przez siłę sprężystości sprężyny:

$F_c=F_s$

gdzie:

$F_c$ - wartość siły ciężkości,

$F_s$ - wartość siły sprężystości.

Wartość siły ciężkości możemy wyrazić za pomocą wzoru:

$F_c=mg$ 

gdzie:

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Wartość siły sprężystości możemy przedstawić wzorem:

$F_s=kx$

gdzie: 

$k$ - współczynnik sprężystości sprężyny, 

$x$ - wydłużenie sprężyny. 

Korzystając z powyższych wzorów wyznaczamy wyrażenie na współczynnik sprężystości sprężyny:

$F_c=F_s$

$mg=kx|:x$

$k=\frac{mg}{x}$

Kiedy winda porusza się z przyspieszeniem zwróconym w górę, na ciężarek działa dodatkowo siła bezwładności zwrócona w dół:

gdzie:

${\vec{F}}_c$ - siła ciężkości,

${\vec{F}}_s$ - siła sprężystości,

${\vec{F}}_b$ - siła bezwładności.

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona wartość siły bezwładności będzie proporcjonalna do wartości przyspieszenia:

$F_b=ma$

gdzie:

$F_b$ - wartość siły bezwładności,

$a$ - wartość przyspieszenia.

Pojawienie się siły bezwładności spowoduje, że sprężyna bardziej się rozciągnie, więc zwiększy się wartość siły sprężystości, która zrównoważy siły działające na ciężarek:

$F_{sa}=F_c+F_b$

gdzie:

$F_{sa}$ - wartość siły sprężystości podczas przyspieszania windy w górę.

Wartość siły sprężystości w tym przypadku zapiszemy jako:

$F_{sa}=k{x}_a$

gdzie:

$x_a$ - wydłużenie sprężyny podczas przyspieszania windy w górę.

Korzystając z wymienionych zależności wyznaczamy wzór na wydłużenie sprężyny w windzie przyspieszającej w górę:

$F_{sa}=F_c+F_b$

$k{x}_a=mg+ma$

$\frac{mg}{x}{x}_a=mg+ma|\cdot x$

$mg{x}_a=mgx+max|:mg$

$x_a=x+\frac{ax}{g}$

$x_a=x\left(1+\frac{a}{g}\right)$

Wstawiamy dane liczbowe:

$x_a=0,03\mathrm{m}\cdot \left(1+\frac{2\frac{\cancel{\mathrm{m}}}{\cancel{{\mathrm{s}}^2}}}{10\frac{\cancel{\mathrm{m}}}{\cancel{{\mathrm{s}}^2}}}\right)=$

$=0,03\mathrm{m}\cdot 1,2=0,036\mathrm{m}=3,6\mathrm{cm}$

Odpowiedź: Sprężyna wydłuży się o 3,6 cm.

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

$a_b=?$

Rozwiązanie:

Podobnie jak w podpunkcie a) możemy zapisać wyrażenie na współczynnik sprężystości sprężyny, korzystając z informacji o jej rozciągnięciu w nieruchomej windzie:

$k=\frac{mg}{x}$

gdzie:

$k$ - współczynnik sprężystości sprężyny,

$m$ - masa ciężarka,

$g$ - wartość przyspieszenia grawitacyjnego,

$x$ - wydłużenie sprężyny w nieruchomej windzie.

Kiedy winda porusza się z przyspieszeniem zwróconym w dół, na ciężarek działa dodatkowo siła bezwładności zwrócona w górę:

gdzie:

${\vec{F}}_c$ - siła ciężkości,

${\vec{F}}_s$ - siła sprężystości,

${\vec{F}}_b$ - siła bezwładności.

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona wartość siły bezwładności będzie proporcjonalna do wartości przyspieszenia:

$F_b=ma$

gdzie:

$F_b$ - wartość siły bezwładności,

$a$ - wartość przyspieszenia.

Pojawienie się siły bezwładności spowoduje, że sprężyna mniej się rozciągnie, więc zmniejszy się wartość siły sprężystości. Siły działające na ciężarek się zrównoważą:

$F_{sb}+F_b=F_c$

gdzie:

$F_{sb}$ - wartość siły sprężystości podczas przyspieszania windy w dół,

$F_c$ - wartość siły ciężkości.

Wartość siły sprężystości w tym przypadku zapiszemy jako:

$F_{sb}=k{x}_b$

gdzie:

$x_b$ - wydłużenie sprężyny podczas przyspieszania windy w dół.

Korzystając z wymienionych zależności wyznaczamy wzór na wydłużenie sprężyny w windzie przyspieszającej w dół:

$F_{sb}+F_b=F_c$

$k{x}_b+ma=mg$

$\frac{mg}{x}{x}_b+ma=mg|\cdot x$

$mg{x}_b+max=mgx|:mg$

$x_b+\frac{ax}{g}=x|-\frac{ax}{g}$

$x_b=x-\frac{ax}{g}$

$x_b=x\left(1-\frac{a}{g}\right)$

Wstawiamy dane liczbowe:

$x_b=0,03\mathrm{m}\cdot \left(1-\frac{2\frac{\cancel{\mathrm{m}}}{\cancel{{\mathrm{s}}^2}}}{10\frac{\cancel{\mathrm{m}}}{\cancel{{\mathrm{s}}^2}}}\right)=$

$=0,03\mathrm{m}\cdot 0,8=0,024\mathrm{m}=2,4\mathrm{cm}$

Odpowiedź: Sprężyna wydłuży się o 2,4 cm.