Dane:

▶ gęstość oleju: $d_o=900\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$, 

▶ gęstość drewna : $d_d=500\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$. 

Szukane:

▶ jaka część całkowitej objętości drewna wystaje ponad powierzchnię oleju: $\frac{V_w}{V}=?$

Rozwiązanie: 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie, jaka część drewna wystaje ponad powierzchnię oleju. 

Skoro kawałek suchego drewna pływa w oleju to oznacza, że siła ciężkości drewna jest równoważona przez siłę wyporu oleju działającą na ten kawałek drewna: 

gdzie:

${\vec{F}}_g$ - siła ciężkości klocka, 

${\vec{F}}_w$ - siła wyporu działająca na klocek zanurzony w oleju.

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_g=mg$ 

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Nie znamy masy kawałka suchego drewna, ale możemy ta masę przedstawić za pomocą definicji gęstości:

$m=d_{d}V$

gdzie:

$d_d$ - gęstość drewna,

$V$ - całkowita objętość drewna. 

Siła wyporu działająca na ciało zanurzone w płynie jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało:

${F_w=d_{o}gV}_z$ 

gdzie: 

$F_w$ - wartość siły wyporu,

$d_o$ - gęstość cieczy (oleju), w której znajduje się ciało,  

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,  

$V_z$ - objętość wypartej cieczy równa objętości części ciała zanurzonej w płynie. 

W naszym przypadku chcemy określić jaką część całkowitego kawałka drewna stanowi część wynurzona ponad powierzchnię wody. 

Całkowitą objętość kawałka drewna możemy przedstawić jako sumę części objętości zanurzonej w wodzie oraz części objętości wynurzonej z wody:

$V=V_z+V_w$

gdzie:

$V_w$ - objętość części kawałka drewna wynurzonego ponad powierzchnię oleju. 

Oznacza to, że objętość części kawałka drewna zanurzonej w cieczy możemy przedstawić wzorem:

$V_z+V_w=V|-V_w$

$V_z=V-V_w$

Korzystając z faktu, że siła ciężkości zrównoważy siłę wyporu otrzymujemy zależność, z której będziemy chcieli wyznaczyć stosunek części kawałka drewna wynurzonego z oleju do całkowitej objętości drewna:

$F_g=F_w$

$mg=d_{o}g{V}_z$

$d_{d}V\cancel{g}=d_o\cancel{g}\left(V-V_w\right)$

$d_{d}V=d_{o}V-d_o{V}_w|+d_o{V}_w$

$d_{d}V+d_o{V}_w=d_{o}V|-d_{d}V$

$d_o{V}_w=d_{o}V-d_{d}V$

$d_o{V}_w=\left(d_o-d_d\right)V|:d_{o}V$

$\frac{\cancel{d_o}{V}_w}{\cancel{d_o}V}=\frac{\left(d_o-d_d\right)\cancel{V}}{d_o\cancel{V}}$

$\frac{V_w}{V}=\frac{d_o-d_d}{d_o}$

Otrzymaliśmy oczekiwany stosunek. Podstawmy teraz do tego wzoru gęstości oleju i drewna podane w zadaniu:

$\frac{V_w}{V}=\frac{900\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}-500\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}{900\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}=\frac{400\cancel{\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}}{900\cancel{\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}}}=\frac{4}{9}$

Odpowiedź: Część objętości kawałka drewna wynurzonego z wody stanowi 4/9 całkowitej objętości kawałka drewna.