Dane:

▶ masa wagonika kolejki górskiej: $m=200\text{kg}$, 

▶ wartość prędkości uzyskanej przez wagonik: $v=40\frac{\text{m}}{\text{s}}$, 

▶ odległość poniżej poziomu punktu startu, gdzie wagonik uzyskuje szybkość 40 m/s: $h=100\text{m}$,

▶ wartość prędkości wagonika w chwili startu: $v_0=0\frac{\text{m}}{\text{s}}$,

▶ energia potencjalna grawitacji na poziomie 100 m poniżej punktu startu: $E_{p.0}=0\text{J}$.

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

▶ ile energii mechanicznej wagonika zamieniło się w inne formy energii: $E=?$

Rozwiązanie: 

Naszym zadaniem jest obliczenie energii mechanicznej wagonika. Zgodnie z treścią zadania należy przyjąć, że energia potencjalna grawitacji ma zerową wartość poniżej poziomu 100 metrów pod punktem startu. Wówczas na poziomie punktu startu wagonik ma energię potencjalną równą:

$E_p=mgh$

gdzie:

$E_p$ - energia potencjalna wagonika w punkcie startu, 

$m$ - masa wagonika, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, 

$h$ - wysokość nad punktem, gdzie energia potencjalna jest zerowa. 

W punkcie startu wagonik ma zerową szybkość, czyli również jego energia kinetyczna jest wówczas zerowa. Zatem energia mechaniczna wagonika w punkcie startu jest równa jego energii potencjalnej. 

Po zjeździe wagonika poniżej poziomu startu, gdzie jego energia potencjalna jest zerowa, energię kinetyczną możemy przedstawić wzorem:

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna wagonika poniżej poziomu startu, 

$v$ - szybkość wagonika poniżej poziomu startu. 

Ponieważ wówczas energia potencjalna jest zerowa to całkowita energia mechaniczna układu odpowiada wówczas energii kinetycznej. 

Pytamy, ile energii mechanicznej zamieniło się w inne formy energii, czyli o ile zmniejszyła się energia układu:

$E=E_p-E_k$

gdzie:

$E$ - energia mechaniczna wagonika zamieniona w inne formy energii.

Otrzymujemy, że energia mechaniczna wagonika zamieniona w inne formy energii będzie miała postać:

$E=E_p-E_k$

$E=mgh-\frac{1}{2}m{v}^2$

$E=m\left(gh-\frac{1}{2}{v}^2\right)$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E=200\text{kg}\cdot \left(10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 100\text{m}-\frac{1}{2}\cdot {\left(40\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2\right)=$

$=200\text{kg}\cdot \left(1000\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-0,5\cdot 1600\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\right)=$

$=200\text{kg}\cdot \left(1000\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-800\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\right)=$

$=200\text{kg}\cdot 200\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=40000\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=$

$=40000\text{J}=40000\cdot 0,001\text{kJ}=40\text{kJ}$

Odpowiedź: W inne formy energii zamieniło się 40 kJ energii wagonika.

 

$\mathbf{b})$

Energię mechaniczną wagonika mogły spowodować siły tarcia o szyny oraz siły oporów powietrza.