TREŚĆ:

Zadanie 1.

Samochód policyjny 𝓟 jechał ze stałą prędkością o wartości $v_{0P}=20\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. W pewnej chwili został on wyprzedzony przez samochód osobowy 𝓕 jadący w tym samym kierunku ze stałą prędkością o wartości $v_F=35\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ (zobacz rysunek 1).

W chwili $t_0=0$, gdy odległość między samochodami 𝓟 i 𝓕 zwiększyła się do $d_0=40\mathrm{m}$, samochód policyjny rozpoczął pościg ze stałym przyspieszeniem o wartości $a=6\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$ (zobacz rysunek 2).

Odległość $d$ między samochodami 𝓟 i 𝓕 jeszcze przez pewien czas rosła, w pewnej chwili osiągnęła maksymalną $d_{\max }$, a następnie zaczęła maleć. 

 

Przyjmij, że:

• w chwili $t_0=0$ samochód policyjny 𝓟 poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym,
• samochód 𝓕 cały czas poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym,
• odległość pomiędzy samochodami traktujemy jako odległość pomiędzy ustalonymi
  punktami na przednich zderzakach.

Oblicz $d_{\max }$ – maksymalną odległość pomiędzy samochodami 𝓟 i 𝓕 podczas pościgu.
Zapisz obliczenia.

---

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$v_{0P}=20\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$v_F=35\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$d_0=40\text{m}$

$t_0=0$

$a=6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Szukane:

$d_{\max }=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie największej odległości $d_{\max }$ między samochodem 𝓕 a samochodem (radiowozem) 𝓟. Rozważmy układ inercjalny, w którym samochód 𝓟 jest w spoczynku względem samochodu 𝓕. Skoro samochód 𝓟 jest w spoczynku, to rozważany układ musi poruszać się razem z samochodem, czyli układ inercjalny porusza się w prawą stronę z szybkością:

$v=v_{0P}$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości, z jaką rozważany układu odniesienia porusza się względem drogi,

$v_{0P}$ - wartość prędkości samochodu policyjnego względem drogi.

Samochód 𝓕 porusza się względem drogi z prędkością ${\vec{v}}_F$, natomiast w poruszającym się w tę samą stronę układzie inercjalnym prędkość ta będzie miała mniejszą wartość. Zapiszemy więc, że samochód 𝓕 w rozważanym układzie inercjalnym porusza się z prędkością o wartości:

$v_{F^{\prime }}=v_F-v$

Wówczas:

$v_{F^{\prime }}=v_F-v_{0P}$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości, z jaką rozważany układu odniesienia porusza się względem drogi,

$v_F$ - wartość prędkości samochodu 𝓕 względem drogi,

$v_{F^{\prime }}$ - wartość prędkości samochodu 𝓕 w inercjalnym układzie odniesienia, który porusza się z szybkością $v$ względem drogi.

Zgodnie z treścią zadania w chwili, gdy odległość między samochodami wynosiła $d_0$, to samochód 𝓟 zaczął poruszać się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Wykonajmy rysunek pomocniczy z oznaczeniem odległości w inercjalnym układzie odniesienia przed rozpoczęciem poruszania się samochodu 𝓟 ruchem przyspieszonym:

Zakładamy, że od tego momentu, czyli gdy odległość pomiędzy samochodami wynosi  $d_0$, jest liczony czas $t_0=0\text{s}$. Zgodnie z treści zadania od tego momentu samochód policyjny zaczął przyspieszać ze stałym przyspieszeniem o wartości $a$, natomiast samochód 𝓕 cały czas poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Rozważmy teraz ruch każdego z samochodów oddzielnie.

▶ Samochód 𝓟 w układzie inercjalnym

DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONYM Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym, przedstawiamy za pomocą wzoru: $s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ gdzie: $s$ - droga przebyta przez ciało, $v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała,  $a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało,  $t$ - czas ruchu ciała.

W rozważanym układzie inercjalnym samochód policyjny jest w spoczynku, aż do momentu $t_0=0\text{s}$, czyli gdy odległość między samochodami wynosi $d_0$. Zapiszemy więc, że wartość prędkości początkowej samochodu policyjnego, w rozważanym układzie inercjalnym, w momencie $t_0$  wynosi:

$v_{0P^{\prime }}=0$

Wówczas, w ruchu jednostajnie przyspieszonym, samochód policyjny przebędzie drogę, którą opisuje wzór:

$s_{P^{\prime }}=\frac{1}{2}a{t}^2$

Skoro samochód 𝓟 w chwili $t_0=0\text{s}$ znajduje się w początku układu inercjalnego, to jego położenie wzdłuż osi $x$ opisuje wzór:

$x_{P^{\prime }}\left(t\right)=\frac{1}{2}a{t}^2$

▶ Samochód 𝓕 w układzie inercjalnym

DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNYM Jeżeli ciało porusza się z prędkością o stałej wartości, to drogę przebytą przez to ciało w określonej jednostce czasu możemy obliczyć za pomocą wzoru: $s=vt$ gdzie: $s$ - droga,  $v$ - szybkość,  $t$ - czas ruchu.

Samochód ten porusza się z szybkością $v_{F^{\prime }}$, zatem wzór na drogę, jaką przebędzie, opisuje wzór:

$s_{F^{\prime }}=v_{F^{\prime }}t$

Jednakże zauważmy, że w chwili $t_0$ samochód 𝓕 znajduje się w odległości $d_0$ od początku układu inercjalnego. Wówczas zapiszemy, że położenie samochodu 𝓕 w tym układzie wzdłuż osi $x$ opisuje wzór:

$x_{F^{\prime }}\left(t\right)=d_0+s_{F^{\prime }}\left(t\right)$

Wówczas:

$x_{F^{\prime }}\left(t\right)=d_0+v_{F^{\prime }}t$

▶ Odległość między samochodami

Znamy wzory na położenia samochodów. Odległość między nimi będzie równa różnicy położenia samochodu 𝓕 i położenia samochodu 𝓟:

$d\left(t\right)=x_{F^{\prime }}\left(t\right)-x_{P^{\prime }}\left(t\right)$

$d\left(t\right)=d_0+v_{F^{\prime }}t-\frac{1}{2}a{t}^2$

Zauważmy, że równanie opisujące odległość między samochodami jest funkcją kwadratową z czasem jako argumentem funkcji. Co więcej, funkcja ta jest odwróconą parabolą, ponieważ współczynnik przy $t^2$ jest mniejszy od zera. Oznacza to, że funkcja ta ma wartość maksymalną, którą jest poszukiwana największa odległość $d_{\max }$.

FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: $y\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ gdzie: $a,b,c$ - liczby rzeczywiste, przy czym $a\ne 0$. Delta równania kwadratowego ma postać: $\Delta =b^2-4ac$ Jeżeli $\Delta <0$ to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Jeżeli $\Delta =0$to równanie ma jedno rozwiązanie: $x_1=\frac{-b}{2a}$ Jeżeli $\Delta >0$ to równanie ma dwa rozwiązania: $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ Wierzchołek funkcji kwadratowej znajduje się w punkcie o współrzędnych $\left(p,q\right)$: $p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta }{4a}$

Nas interesuje wartość maksymalna, zatem wyznaczamy współrzędną $q$ wierzchołka:

$d_{\max }=q$

Porównując ogólny wzór funkcji kwadratowej do równania na odległość między samochodami, zapiszemy:

$a=-\frac{1}{2}a$

$b=v_{F^{\prime }}$

$c=d_0$

Wówczas wzór na deltę przyjmie postać:

$\Delta =b^2-4ac$

$\Delta =v_{F^{\prime }}^2-4\cdot \left(-\frac{1}{2}a\right)\cdot d_0$

$\Delta =v_{F^{\prime }}^2+{\cancel{4}}^2\cdot \frac{1}{{\cancel{2}}^1}a\cdot d_0$

$\Delta =v_{F^{\prime }}^2+2a{d}_0$

Przechodzimy do wzoru na największą odległość między samochodami:

$d_{\max }=q$

$d_{\max }=-\frac{\Delta }{4a}$

$d_{\max }=-\frac{v_{F^{\prime }}^2+2a{d}_0}{{\cancel{4}}^2\cdot \left(-\frac{1}{{\cancel{2}}^1}a\right)}$

$d_{\max }=-\frac{v_{F^{\prime }}^2+2a{d}_0}{-2a}$

$d_{\max }=\frac{-\left(v_{F^{\prime }}^2+2a{d}_0\right)}{-2a}$

$d_{\max }=\frac{v_{F^{\prime }}^2+2a{d}_0}{2a}$

$d_{\max }=\frac{v_{F^{\prime }}^2}{2a}+\frac{{\cancel{2a}}^1{d}_0}{{\cancel{2a}}^1}$

$d_{\max }=d_0+\frac{v_{F^{\prime }}^2}{2a}$

Pamiętamy, że:

$v_{F^{\prime }}=v_F-v_{0P}$

Ostatecznie wzór na maksymalną odległość między samochodami przyjmie postać:

$d_{\max }=d_0+\frac{{\left(v_F-v_{0P}\right)}^2}{2a}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d_{\max }=40\text{m}+\frac{{\left(35\frac{\text{m}}{\text{s}}-20\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{2\cdot 6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$

$=40\text{m}+\frac{{\left(15\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{12\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$

$=40\text{m}+\frac{225\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{12\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=40\text{m}+\frac{225}{12}\frac{{\text{m}}^{{\xcancel{2}}^1}}{\cancel{{\text{s}}^2}}\cdot \frac{\cancel{{\text{s}}^2}}{\xcancel{\text{m}}}=$

$=40\text{m}+18,75\text{m}=58,75\text{m}$

Odpowiedź: Maksymalna odległość pomiędzy samochodami wyniosła $58,75\text{m}$.