Oblicz maksymalny kąt nachylenia jezdni...- Zadanie 1.1: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$P = 300 W$

$m = 80 kg$

$v = 5 \frac{km}{h} \approx 1, 39 \frac{m}{s}$

$F_{o} = 0, 05 m g$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g = 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$ .

Szukane:

$α_{ma x} = ?$

Rozwiązanie:

Rozpatrujemy pochyłą jezdnię, po której porusza się hulajnoga.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych zapisujemy:

$sin α = \frac{h}{s}$

gdzie:

$α$ - kąt nachylenia równi,

$h$ - wysokość równi,

$s$ - długość równi.

Stąd:

$h = s sin α$

Drogę jaką przebywa hulajnoga możemy wyrazić jako:

$s = v t$

gdzie:

$s$ - przebyta droga,

$v$ - wartość prędkości hulajnogi,

$t$ - czas ruchu hulajnogi.

Stąd:

$t = \frac{s}{v}$

Praca silnika hulajnogi $W_{s}$ i praca oporów ruchu $W_{o}$ będzie równa energii potencjalnej $E_{p}$ jaką uzyska hulajnoga wjeżdżając po pochyłym podłożu.

$W_{s} + W_{o} = E_{p}$

gdzie:

$W_{s}$ - praca silnika,

$W_{o}$ - praca oporów ruchu,

$E_{p}$ - energia potencjalna.

Pracę silnika hulajnogi wyrazimy jako:

$W_{s} = P \cdot t$

gdzie:

$P$ - moc silnika,

$t$ - czas ruchu.

Zatem:

$W_{s} = P \cdot \frac{s}{v}$

Pracę sił oporu ruchu wyrazimy jako:

$W_{o} = F_{o} \cdot s \cdot cos 180^{\circ} = F_{o} \cdot s \cdot (- 1) = - F_{o} \cdot s$

gdzie:

$F_{o}$ - siła oporów ruchu,

$s$ - przebyta droga.

Energię potencjalną wyrazimy jako:

$E_{p} = m g h$

gdzie:

$m$ - masa hulajnogi wraz z osobą,

$g$ - przyspieszenie ziemskie,

$h$ - wysokość na jaką wjeżdża hulajnoga.

Zatem:

$E_{p} = m g \cdot s sin α$

Wracamy do początkowego równania:

$W_{s} + W_{o} = E_{p}$

$P \cdot \frac{s}{v} - F_{o} \cdot s = m g \cdot s sin α ∣: s$

$\frac{P}{v} - F_{o} = m g \cdot sin α$

Stąd:

$sin α = \frac{P}{m g v} - \frac{F}{m g}$

Podstawiamy zadaną wartość siły oporu.

$sin α = \frac{P}{m g v} - \frac{0 , 05 m g}{m g}$

$sin α = \frac{P}{m g v} - 0, 05$

Obliczmy wartość funkcji sinus.

$sin α = \frac{300 W}{80 kg \cdot 9 , 81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 1 , 39 \frac{m}{s}} - 0, 05 = \frac{300 W}{1090 , 872 W} - 0, 05 \approx 0, 275 - 0, 05 = 0, 225$