Zadaniem naszym jest wyznaczenie warunku na zmienne $d$, $a$, $v_1$ oraz $v_2$, aby mogło dojść do spotkania się dwóch motocyklistów.

Zauważmy, że jeden z motocyklistów porusza się ruchem jednostajnym, a drugi porusza się najpierw ruchem jednostajnym opóźnionym, a następnie ruchem jednostajnym przyspieszonym. Widzimy więc, że musimy rozważyć dwa przypadki. W każdym z nich uwzględniamy fakt, że w ogólnym przypadku zależność położenia od czasu dla ruchu jednostajnie przyspieszonego (opóźnionego) ma postać:

$x\left(t\right)=x_0\pm v_{0}t\pm \frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$x\left(t\right)$ - położenie ciała w danym czasie, 

$t$ - czas, w którym rozważamy położenie danego ciała, 

$x_0$ - położenie początkowe ciała w rozważanym układzie, 

$v_0$ - szybkość początkowa ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim ciało się porusza. 

Znak plus lub minus zależy od tego, czy zwrot prędkości początkowej i przyspieszenia jest zgodny ze zwrotem osi, czy przeciwny do niej.

Teraz rozważamy kierunek i zwrot poruszania się każdego z motocyklistów. Dla ułatwienia tworzymy rysunek pomocniczy do zadania:

Motocykle początkowo poruszają się naprzeciwko siebie z prędkościami o przeciwnych zwrotach. Oś $x$ układu współrzędnych położenia pojazdów przyjmujemy zwróconą na prawo. Zwrot prędkości pierwszego motocyklisty ${\vec{v}}_1$ jest zgodna z kierunkiem osi $x$ układu, natomiast prędkość drugiego motocyklisty ${\vec{v}}_2$ jest przeciwna z kierunkiem osi $x$. Z rysunku odczytujemy też:

$x_{0_2}-x_{0_1}=d$

Zgodnie z treścią zadania motocykliści na początku poruszają się naprzeciwko siebie. Po czasie $t_x$, czyli gdy drugi motocyklista zahamuje i natychmiast zawraca, czyli będzie się poruszać wzdłuż osi $x$ zgodnie ze zwrotem i kierunkiem motocyklisty pierwszego. Widzimy więc, że rozważyć musimy dwa przypadki:

• motocykliści poruszają się naprzeciwko siebie,
• motocykliści poruszają się w tym samym kierunku po czasie $t_x$ od rozpoczęcia ruchu.

 Poruszanie się motocyklistów naprzeciwko siebie 

W pierwszym kroku zapisujemy wzór na zależność położenia motocyklisty pierwszego od czasu:

$x_1\left(t\right)=x_{0_1}+v_{1}t$

gdzie:

$x_1\left(t\right)$ - położenie pierwszego motocykla w chwili $t$,

$x_{0_1}$ - początkowe położenie motocyklisty w układzie współrzędnych,

$v_1$ - wartość prędkości pierwszego motocykla,

$t$ - czas ruchu.

Następnie zapisujemy wzór na zależność położenia motocyklisty drugiego od czasu. Zauważmy, że zwrot prędkości tego motocyklisty jest przeciwny do osi $x$. Zatem przy wartości prędkości będzie minus. Jednaj jednocześnie motocyklista ten hamuje, zatem zwrot przyspieszenia (opóźnienia) jest przeciwny do zwrotu jego prędkości początkowej, czyli przyspieszenie (opóźnienie) ma zwrot zgodny z zwrotem osi $x$. Wówczas przy wartości przyspieszenia będzie znak plus:

$x_2\left(t\right)=x_{0_2}-v_{2}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$x_2$ - położenie drugiego motocykla w zależności od czasu $t$,

$x_{0_2}$ - położenie początkowe drugiego motocykla,

$v_2$ - wartość prędkości początkowej drugiego motocykla,

$a$ - wartość przyspieszenia drugiego motocykla,

$t$  - czas ruchu.

Kiedy motocykliści się spotkają ich położenia będą takie same, zatem zapisujemy:

$x_2\left(t\right)=x_1\left(t\right)$

$x_{0_2}-v_{2}t+\frac{1}{2}a{t}^2=x_{0_1}+v_{1}t|-(x_{0_1}+v_{1}t)$

$\frac{1}{2}a{t}^2-v_{2}t-v_{1}t+\underset{d}{\underbrace{x_{0_2}-x_{0_1}}}=0$

$\frac{1}{2}a{t}^2-\left(v_1+v_2\right)t-d=0$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe postaci:

$A{x}^2+Bx+C=0$

gdzie:

$x=t$,

$A=\frac{1}{2}a$,

$B=-\left(v_1+v_2\right)$,

$C=d$.   

Zauważmy, że istnieją rozwiązania dla równania kwadratowego jeżeli delta jest większa bądź równa 0:

$\Delta \ge 0$

Zanim przejdziemy dalej musimy jeszcze upewnić się, że każde z rozwiązań jest dodatnie, ponieważ rozważamy czas, który zawsze musi być dodatni. Zatem interesują nas taka sytuacja, w której rozwiązanie istnieje (jedno lub dwa) i każde z rozwiązań jest dodatnie:

$x_1>0\text{i}{x}_2>0$

Gdy oba rozwiązania są dodatnie to wówczas:

$x_1+x_2>0$

$x_1\cdot x_2>0$

Widzimy, że ma to związek z wzorami Viete'a:

$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$

$x_1\cdot x_2=\frac{C}{A}$

Wprowadzamy dane wielkości do wzorów:

$x_1+x_2>0$

$-\frac{B}{A}>0$

$-\frac{-(v_1+v_2)}{\frac{1}{2}a}>0$

$2\frac{v_1+v_2}{a}>0$

Widzimy, że aby pierwszy warunek był spełniony dla dwóch dodatnich rozwiązań to wartości prędkości motocyklistów muszą być większe od zera oraz wartość przyspieszenia również musi być większa od zera (co jest spełnione, ponieważ są to wielkości dodatnie).

Przechodzimy do drugiego warunku:

$x_1\cdot x_2>0$

$\frac{C}{A}>0$

$\frac{d}{\frac{1}{2}a}>0$

$2\frac{d}{a}>0$

Widzimy, że aby drugi warunek był spełniony dla dwóch dodatnich rozwiązań to odległość między motocyklistami musi być większa od zera oraz wartość przyspieszenia również musi być większa od zera (co jest spełnione, ponieważ są to wielkości dodatnie).

Otrzymujemy prosty warunek, że nasze równanie kwadratowe musi mieć rozwiązanie, wtedy otrzymane rozwiązania istnieją i są fizyczne (czas $t$ musi być wartością większą od zera). Wracamy więc do warunku na istnienie jednego lub dwóch rozwiązań równania kwadratowego, czyli:

$\Delta \ge 0$

$B^2-4AC\ge 0$

${\left(-\left(v_1+v_2\right)\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}a\cdot d\ge 0$

${\left(v_1+v_2\right)}^2-2ad\ge 0|+2ad$

${\left(v_1+v_2\right)}^2\ge 2ad$

Wielkości $v_1$, $v_2$, $a$ i $d$ muszą spełniać powyższy warunek, aby doszło do spotkania motocyklistów w trakcie poruszania się naprzeciwko siebie.

 

 Poruszanie się motocyklistów w tym samym kierunku

Pierwszym warunkiem, który musi zostać spełniony, aby motocykliści mogli spotkać się podczas poruszania się w tym samym kierunku jest zmiana kierunku poruszania się drugiego motocyklisty. Przyjmujemy, że drugi motocyklista po czasie $t_x$ wykonał manewr zawracania. Zauważmy, że w chwili $t_x$ motocyklista drugi zatrzymał się, zatem jego prędkość była zerowa. Zauważmy, że w ogólności szybkość ciała od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym (opóźnionym) opisuje równanie:

$v\left(t\right)=\pm v_0\pm at$

gdzie:

$v\left(t\right)$ - szybkość ciała w danym czasie, 

$t$ - czas, w którym rozważamy szybkość danego ciała, 

$v_0$ - szybkość początkowa ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim ciało się porusza. 

W przypadku drugiego motocyklisty zależność ta przyjmuję postać:

$v_2\left(t\right)=-v_2+at$

W chwili $t_x$ motocyklista drugi miał zerową prędkość, zatem:

$v_2\left(t_x\right)=0$

$-v_2+a{t}_x=0|+v_2$

$a{t}_x=v_2|:a$

$t_x=\frac{v_2}{a}$

Wówczas położenie drugiego motocyklisty wynosi:

$x_2\left(t_x\right)=x_{0_2}-v_2{t}_x+\frac{1}{2}a{t}_x^2$

$x_2\left(t_x\right)=x_{0_2}-v_2\cdot \frac{v_2}{a}+\frac{1}{2}a{\left(\frac{v_2}{a}\right)}^2$

$x_2\left(t_x\right)=x_{0_2}-\frac{v_2^2}{a}+\frac{1}{2}a\frac{v_2^2}{a^2}$

$x_2\left(t_x\right)=x_{0_2}-\frac{v_2^2}{a}+\frac{v_2^2}{2a}$

$x_2\left(t_x\right)=x_{0_2}-\frac{v_2^2}{2a}$

Zatem zależność położenia drugiego motocyklisty (od chwili wykonania manewru zawracania) od czasu przyjmuję postać:

$x_2^{\prime }\left(t_x\right)=x_{0_2}-\frac{v_2^2}{2a}+\frac{1}{2}a{t}^2$

Teraz przechodzimy do wyznaczenia zależności położenia pierwszego motocyklisty (od chwili wykonania manewru zawracania przez drugiego motocyklistę) od czasu. Najpierw wyznaczamy położenie tego motocyklisty w chwili $t_x$:

$x_1\left(t_x\right)=x_{0_1}+v_1\frac{v_2}{a}$

$x_1\left(t_x\right)=x_{0_1}+\frac{v_1{v}_2}{a}$

Wówczas zależność położenia pierwszego motocyklisty (od chwili wykonania manewru zawracania przez drugiego motocyklistę) od czasu przyjmuję postać:

$x_1^{\prime }\left(t\right)=x_{0_1}+\frac{v_1{v}_2}{a}+v_{1}t$

Kiedy motocykliści się spotkają ich położenia będą takie same, zatem zapisujemy:

$x_2^{\prime }\left(t\right)=x_1^{\prime }\left(t\right)$

$x_{0_2}-\frac{v_2^2}{2a}+\frac{1}{2}a{t}^2=x_{0_1}+\frac{v_1{v}_2}{a}+v_{1}t|-\left(x_{0_1}+\frac{v_1{v}_2}{a}+v_{1}t\right)$

$\frac{1}{2}a{t}^2-v_{1}t+\underset{d}{\underbrace{x_{0_2}-x_{0_1}}}-\frac{v_2^2}{2a}-\frac{v_1{v}_2}{a}=0$

$\frac{1}{2}a{t}^2-v_{1}t+d-\frac{1}{2a}\left(v_2^2+2v_1{v}_2\right)=0$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe postaci:

$A{x}^2+Bx+C=0$

gdzie:

$x=t$,

$A=\frac{1}{2}a$,

$B=-v_1$,

$C=d-\frac{1}{2a}\left(v_2^2+2v_1{v}_2\right)$.   

Zauważmy, że istnieją rozwiązania dla równania kwadratowego jeżeli delta jest większa bądź równa 0:

$\Delta \ge 0$

Zanim przejdziemy dalej musimy jeszcze upewnić się, że każde z rozwiązań jest dodatnie, ponieważ rozważamy czas, który zawsze musi być dodatni. Zatem interesują nas taka sytuacja, w której rozwiązanie istnieje (jedno lub dwa) i każde z rozwiązań jest dodatnie:

$x_1>0\text{i}{x}_2>0$

Gdy oba rozwiązania są dodatnie to wówczas:

$x_1+x_2>0$

$x_1\cdot x_2>0$

Wprowadzamy dane wielkości do wzorów:

$x_1+x_2>0$

$-\frac{B}{A}>0$

$-\frac{-v_1}{\frac{1}{2}a}>0$

$2\frac{v_1}{a}>0$

Widzimy, że aby pierwszy warunek był spełniony dla dwóch dodatnich rozwiązań to wartość prędkości pierwszego motocyklisty musi być większa od zera oraz wartość przyspieszenia również musi być większa od zera (co jest spełnione, ponieważ są to wielkości dodatnie).

Przechodzimy do drugiego warunku:

$x_1\cdot x_2>0$

$\frac{C}{A}>0$

$\frac{d-\frac{1}{2a}\left(v_2^2+2v_1{v}_2\right)}{\frac{1}{2}a}>0$

$\frac{1}{2a}\frac{2ad-\left(v_2^2+2v_1{v}_2\right)}{\frac{1}{2}a}>0$

$\frac{2ad-\left(v_2^2+2v_1{v}_2\right)}{\frac{1}{4}{a}^2}>0$

Widzimy, że dla drugiego warunku mamy bardziej specyficzną sytuację. Jednak wartość przyspieszenia drugiego motocyklisty jest większe od zera, zatem możemy wymnożyć obustronnie przez $\frac{1}{4}{a}^2$ bez zmiany znaku nierówności:

$2ad-\left(v_2^2+2v_1{v}_2\right)>0|+\left(v_2^2+2v_1{v}_2\right)$

$2ad>v_2^2+2v_1{v}_2$

Zauważmy, że po prawej stronie możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2|-b^2$

${\left(a+b\right)}^2-b^2=a^2+2ab$

Wówczas:

$2ad>{\left(v_1+v_2\right)}^2-v_1^2|+v_1^2$

$2ad+v_1^2>{\left(v_1+v_2\right)}^2$

Zatem, aby dwa rozwiązania były dodatnie to wówczas musi być spełniony dodatkowo powyższy warunek.

Przejdźmy teraz do warunku na dwa lub jedno rozwiązanie:

$\Delta \ge 0$

$B^2-4AC\ge 0$

${\left(-v_1\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}a\cdot \left[d-\frac{1}{2a}\left(v_2^2+2v_1{v}_2\right)\right]\ge 0$

$v_1^2-2ad+v_2^2+2v_1{v}_2\ge 0|+2ad$

$v_1^2+2v_1{v}_2+v_2\ge 2ad$

Po lewej stronie znów możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$

Wówczas:

${\left(v_1+v_2\right)}^2\ge 2ad$

I otrzymujemy ten sam warunek jak w pierwszej sytuacji, czyli gdy motocykliści poruszali się naprzeciwko siebie.