Zapisz równanie zależności v(t)...- Zadanie 4.1: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Analizując wykres widzimy, że wartość prędkości początkowej pojazdu wynosi:

$v_{0} = 2 \frac{m}{s}$

Odczytujemy również, że:

Pojazd od $t_{0} = 0 s$ do $t_{1} = 10 s$ zmniejsza wartość swojej prędkości do zera.
W kolejnym etapie ruchu (od $t_{1} = 10 s$ do $t_{2} = 20 s$ ) prędkość pojazdu jest ujemna, ale bezwzględna wartość prędkości wzrasta. Oznacza to, że samochód porusza się w drugą stronę i dlatego jego prędkość wzrasta na minusie.
Zależność prędkości ciała od czasu jest liniowa.

Z powyższych kroków możemy wyciągnąć następujące wnioski:

pojazd od $t_{0} = 0 s$ do $t_{1} = 10 s$ porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym,
pojazd od $t_{1} = 10 s$ do $t_{2} = 20 s$ porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym.
w całym ruchu wartość przyspieszenia i opóźnienia jest stała, ponieważ zależność prędkości ciała od czasu jest liniowa.

Łącząc powyższe wnioski ruch pojazdu interpretujemy następująco:

Pojazd porusza się ruchem jednostajnie zmiennym wzdłuż pewnego kierunku (np. osi $x$ ) z:

▶ szybkością początkową: $v_{0} = 2 \frac{m}{s}$

▶ stałym przyspieszeniem: $a$

Korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a = \frac{Δ v}{Δ t}$

gdzie:

$a$ – wartość przyspieszenia,

$Δ v$ – zmiana szybkości ciała,

$Δ t$ – czas w jakim zmienia się szybkość.

Zmiana szybkości ciała jest równa różnicy szybkości ciała na końcu ruchu i szybkości ciała na początku ruchu:

$Δ v = v_{k} - v_{p}$

gdzie:

$Δ v$ - zmiana szybkości ciała,

$v_{k}$ - szybkość końcowa,

$v_{p}$ - szybkość początkowa.

Natomiast czas w jakim zmienia się szybkość jest równa różnicy chwili końcowej i chwili początkowej:

$Δ t = t_{k} - t_{p}$

gdzie:

$Δ t$ - czas w jakim zmienia się szybkość,

$t_{k}$ - chwila końcowa,

$t_{p}$ - chwila początkowa.

Wówczas wzór na wartość przyspieszenia przyjmuję postać:

$a = \frac{v _{k} - v _{p}}{t _{k} - t _{p}}$

Z wykresu odczytujemy:

▶ szybkość początkowa: $v_{p} = 2 \frac{m}{s}$

▶ chwila początkowa: $t_{p} = 0 s$

▶ szybkość końcowa: $v_{k} = - 2 \frac{m}{s}$

▶ chwila końcowa: $t_{k} = 20 s$

Wprowadzamy dane do wzoru na wartość przyspieszenia ciała:

$a = \frac{- 2 \frac{m}{s} - 2 \frac{m}{s}}{20 s - 0 s} =$

$= \frac{- 4 \frac{m}{s}}{20 s} = - 0, 2 \frac{m}{s ^{2}}$

Wówczas korzystając z ogólnego równania zależności prędkości od czasu mamy:

$v (t) = v_{0} + a t$

gdzie:

$v (t)$ - wartość prędkości w zależności od czasu,

$v_{0}$ - wartość prędkości początkowej,

$t$ - czas.

Pomijając jednostki układu SI otrzymujemy:

$v (t) = 2 - 0, 2 t$

Komentarz nauczyciela - nie jest on częścią rozwiązania zadania!

Zauważmy, że zadanie to można wykonać w prostszy sposób. Zgodnie z analizą wykresu zauważamy, że zależność szybkości od czasu jest liniowa, czyli możemy opisać ją linią prostą: $y = a x + b$ , gdzie $a$ jest nachyleniem prostej a $b$ wyrazem wolnym. Jednak w naszym przypadku wzór na linię prostą przyjmie postać: $v (t) = a t + v_{0}$ , gdzie $a$ jest wartością przyspieszenia. a $v_{0}$ szybkością początkową. Nachylenie prostej jest ujemne, zatem wartość przyspieszenia z jakim porusza się pojazd również musi być ujemne.

Jeżeli przyspieszenie jest ujemne to interpretujemy to jako przyspieszenie w przeciwnym kierunku względem, którego pojazd poruszał się na początku ruchu. Na początku ruchu pojazd poruszał się np. wzdłuż osi $x$ , a gdy spowolnił, czyli w sekundzie $t_{1} = 10 s$ zawrócił i zaczął poruszać się z tym samym przyspieszeniem (ujemnym), ale w przeciwnym kierunku, czyli zaczął poruszać się z przyspieszeniem przeciwnie do osi $x$ .