Oblicz prędkość odrzutu atomu przy przejściu...- Zadanie 9: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$E_{0} = 13, 6 eV$

$v_{0} = 0$

$m = 1, 008 u$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość prędkości światła w próżni: $c = 3 \cdot 10^{8} \frac{m}{s}$ .

▶ zależność pomiędzy jednostkami energii: $1 eV = 1, 6 \cdot 10^{- 19} J$ .

▶ zależność pomiędzy jednostką masy atomowej a kilogramem: $1 u = 1, 66 \cdot 1 0^{- 27} kg$ .

Szukane:

$v = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie prędkości odrzutu atomu przy przejściu elektronu z drugiej orbity na pierwszą.

ENERGIA NA ORBITACH W ATOMIE WODORU

W atomie wodoru dozwolone wartości energii oblicza się ze wzoru:

$E_{n} = - \frac{E _{0}}{n ^{2}}$

gdzie:

$E_{n}$ - energia na $n$ -tej orbicie,

$E_{0}$ - bezwzględna wartość energii na pierwszej orbicie,

$n = 1, 2, 3 \dots$ - numer orbity lub poziomu energetycznego (zawsze liczba naturalna).

Na podstawie powyższego wzoru energię na drugiej orbicie zapiszemy jako:

$E_{2} = - \frac{E _{0}}{2 ^{2}}$

$E_{2} = - \frac{E _{0}}{4}$

Natomiast energię na pierwszej orbicie jako:

$E_{1} = - \frac{E _{0}}{1 ^{2}}$

$E_{1} = - E_{0}$

Korzystając z zasady zachowania energii, energia fotonu $E_{f}$ równa się różnicy energii elektronu na danych poziomach:

$E_{f} = E_{2} - E_{1}$

Po podstawieniu za $E_{1}$ i $E_{2}$ otrzymujemy:

$E_{f} = - \frac{E _{0}}{4} - (- E_{0})$

$E_{f} = - \frac{E _{0}}{4} + E_{0}$

$E_{f} = - \frac{E _{0}}{4} + \frac{4 E _{0}}{4}$

$E_{f} = \frac{3 E _{0}}{4}$

ENERGIA FOTONU

Energię fotonu o zadanym pędzie możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$E_{f} = p_{f} c$

gdzie:

$E_{f}$ - energia fotonu,

$p_{f}$ - wartość pędu fotonu,

$c$ - wartość prędkości światła.

Po podstawieniu do wcześniejszego wzoru otrzymujemy:

$p_{f} c = \frac{3 E _{0}}{4} ∣ : c$

$p_{f} = \frac{3 E _{0}}{4 c}$

WARTOŚĆ PĘDU

Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p = m v$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Na podstawie powyższego wzoru dla atomu zapiszemy:

$p_{a t} = m v$

Zadanie podaje, że przed emisją fotonu atom spoczywał, zatem jego pęd był zerowy. Zgodnie z zasadą zachowania pędu wiemy zatem, że odrzut atomu nastąpi w przeciwną stronę w stosunku do wyemitowanego fotonu a wartości pędu atomu $p_{a t}$ i pędu fotonu $p_{f}$ będą sobie równe, gdyż pęd musi być zachowany i sumarycznie również być równy zero, czyli tyle ile przed emisją fotonu. Zapiszemy zatem zależność między pędami po emisji fotonu jako: