Wpisz w nawiasy symbole soczewek A, B i C tak...- Zadanie 13.1: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Naszym celem jest określenie relacji między ogniskowymi poszczególnych soczewek. Wiemy, że soczewki muszą spełniać równanie materiałowe soczewki:

RÓWNANIE MATERIAŁOWE SOCZEWKI

Równanie materiałowe soczewki (równanie szlifierzy soczewek) ma postać:

$\frac{1}{f} = (\frac{n}{n _{0}} - 1) (\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}})$

gdzie:

$f$ - ogniskowa soczewki,

$n$ - współczynnik załamania dla soczewki,

$n_{0}$ - współczynnik załamania dla otoczenia,

$R_{1}, R_{2}$ - promienie krzywizn soczewki.

Promień krzywizny dla powierzchni wklęsłej jest ujemny. Ogniskowa soczewki przyjmuje wartość dodatnią dla soczewki skupiającej, a wartość ujemną dla soczewki rozpraszającej.

Wiemy, że wszystkie soczewki mają taki sam współczynnik załamania oraz znajdują się w tym samym środowisko, w związku z czym możemy zapisać powyższe równanie w postaci:

$\frac{1}{f} = x (\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}})$

gdzie:

$x$ - stała podstawiona za nawias ze współczynnikami załamania.

Teraz rozważmy każdą z soczewek oddzielnie.

Widzimy, że jest to soczewka podwójnie wypukła. W związku z tym oba promienie w równaniu soczewki są dodatnie. Korzystając z tych informacji, widzimy, że nie musimy niczego zmieniać w równaniu. W związku z tym możemy zapisać:

$\frac{1}{f _{A}} = x (\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}})$

gdzie:

$f_{A}$ - ogniskowa soczewki A.

Możemy zapisać powyższe równanie, dodając do siebie ułamki.

$\frac{1}{f _{A}} = x (\frac{R _{2}}{R _{1} R _{2}} + \frac{R _{1}}{R _{1} R _{2}})$

$\frac{1}{f _{A}} = x \frac{R _{2} + R _{1}}{R _{1} R _{2}}$

Jeśli odwrócimy obie strony równania, to otrzymamy wzór na ogniskową:

$f_{A} = \frac{R _{1} R _{2}}{x ( R _{2} + R _{1} )}$

Dla soczewki B równanie materiałowe soczewki możemy zapisać w postaci:

$\frac{1}{f _{B}} = x (\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}})$

gdzie:

$f_{B}$ - ogniskowa soczewki B.

W tym przypadku widzimy, że soczewka po lewej stronie jest płaska. W takim przypadku traktujemy powierzchnie soczewki jaky to był wycinek okręgu o nieskończonym promieniu. Wówczas mamy:

$R_{1} \to \infty lim \frac{1}{R _{1}} = 0$

Wówczas równanie materiałowe soczewki upraszcza się do postaci:

$\frac{1}{f _{B}} = \frac{x}{R _{2}}$

Odwracamy obie strony równania:

$f_{B} = \frac{R _{2}}{x}$

Dla soczewki C możemy zapisać:

$\frac{1}{f _{C}} = x (\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}})$

gdzie:

$f_{C}$ - ogniskowa soczewki C.

Wiemy, że w tym przypadku lewa strona soczewki jest wklęsła, zatem przy tym promieniu krzywizny należy postawić znak minus. Wówczas równanie ma postać:

$\frac{1}{f _{C}} = x (- \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}})$

Dodając do siebie ułamki, dostajemy:

$\frac{1}{f _{C}} = x (- \frac{R _{2}}{R _{1} R _{2}} + \frac{R _{1}}{R _{1} R _{2}})$

$\frac{1}{f _{C}} = x \frac{R _{1} - R _{2}}{R _{1} R _{2}}$

Odwracamy obie strony równania:

$f_{C} = \frac{R _{1} R _{2}}{x ( R _{1} - R _{2} )}$

Otrzymaliśmy już wszystkie wzory na ogniskowe soczewek, więc możemy zastanowić się, jakie relacje je łączą. Jak widzimy, wzory na ogniskową dla soczewek A i C są do siebie bardzo podobne - różnią się jedynie znakiem w mianowniku. W przypadku ogniskowej soczewki C promienie krzywizny odejmują się od siebie, więc mianownik ma mniejszą wartość niż w przypadku ogniskowej soczewki A. Oznacza to, że łączy je relacja:

$f_{A} > f_{C}$

W przypadku ogniskowej soczewki B najłatwiej będzie określić jej relację z innymi ogniskowymi, obliczając ich stosunek. Zacznijmy od soczewki A:

$\frac{f _{B}}{f _{A}} = \frac{\frac{R _{2}}{x}}{\frac{R _{1} R _{2}}{x ( R _{1} + R _{2} )}}$

$\frac{f _{B}}{f _{A}} = \frac{1}{\frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}}$

$\frac{f _{B}}{f _{A}} = \frac{R _{1} + R _{2}}{R _{1}}$

Wartości obu promieni krzywizny soczewki są dodatnie, czyli powyższe równanie ma wartość większą od jedynki, co oznacza, że:

$f_{B} > f_{A}$

W przypadku gdy obliczymy stosunek ogniskowej soczewki B do ogniskowej C otrzymamy analogiczny wynik - jedyną różnicą będzie to, że w dzielniku jest minus zamiast plusa. Oznacza to, że ułamek będzie miał wartość mniejszą niż jeden, z czego wynika:

$f_{B} < f_{C}$