Dane:

$t=10\text{s}$  

$R_1=20\Omega$  

$R_2=30\Omega$  

W zadaniu 3.1 wyznaczyliśmy:

▶ Maksymalne natężenia prądów płynące w obwodzie przez obie diody:

$I_{{\text{max}}_1}=0,3\text{A}$

$I_{{\text{max}}_2}=0,2\text{A}$

▶ Okres zmian napięcia

$T=0,04\text{s}$   

Z wykresów z zadania 3.1 odczytujemy, że w czasie jednego okresu prądy przez oporniki przepływają przez taki sam czas:

$t_x=0,02\text{s}$  

Szukane:

$Q=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie ciepła wydzielonego w całym obwodzie.

PRAWO JOULE'A-LENZA Prawo Joule'a-Lenza wyraża ilość ciepła, jakie jest wyzwalane przy przepływie prądu elektrycznego przez przewodnik. $Q=R{I}_{sk}^{2}t$ gdzie: $Q$ - ciepło wydzielane w przewodzie, $R$ - opór elektryczny przewodnika, $I_{sk}$ - natężenie skuteczne prądu płynącego w przewodniku, $t$ - czas przepływu prądu.

 

NATĘŻENIE SKUTECZNE Natężenie skuteczne prądu przemiennego wyrażamy wzorem: $I_{\text{sk}}=\frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}}$ gdzie: $I_{\text{sk}}$ - natężenie skuteczne prądu przemiennego, $I_{\text{max}}$ - natężenie maksymalne prądu przemiennego,

Po podstawieniu powyższej zależności do prawa Joule'a-Lenza wzór na wydzielone ciepło przyjmie zatem postać:

$Q=R\cdot {\left(\frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}}\right)}^2\cdot t$

$Q=R\cdot \frac{I_{\text{max}}^2}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}\cdot t$

$Q=R\cdot \frac{I_{\text{max}}^2}{2}\cdot t$  

$Q=\frac{1}{2}R{I}_{\text{max}}^{2}t$  

Rozpatrujemy ciepło $Q_1$ wydzielone przy przepływie prądu przez opornik $R_1$. Wiemy, że w trakcie trwania jednego okresu jedynie przez:

$t_x=0,02\text{s}$  

przepływa prąd przez opornik $R_1$. Zatem ciepło wydzielone w takim czasie opisuje wzór:

$Q_{x_1}=\frac{1}{2}{R}_1{I}_{{\text{max}}_1}^2{t}_x$  

Zauważmy, że jeżeli podzielimy cały czas  $t$ , który należy rozpatrzeć w zadaniu przez jeden okres prądu $T$  to obliczymy ilość "wzniesień" na wykresie czyli ile razy napięcie "przeskakuje" od wartości dodatniej do ujemnej:

$n=\frac{t}{T}$  

Zatem w czasie $t$  $n$  razy przepływa przez opornik $R_1$ natężenie o maksymalnej wartości  $I_{{\text{max}}_1}$   przez czas  $t_x$  . Całkowite ciepło jakie zostanie wydzielone na tym oporniku zapiszemy zatem jako:

$Q_1=n\cdot Q_{x_1}$  

$Q_1=\frac{t}{T}\cdot Q_{x_1}$  

Po podstawieniu do wcześniej wykazanego wzoru otrzymujemy:

$Q_1=\frac{t}{T}\cdot \frac{1}{2}{R}_1{I}_{{\text{max}}_1}^2{t}_x$  

$Q_1=\frac{1}{2}{R}_1{I}_{{\text{max}}_1}^2{t}_x\frac{t}{T}$  

Analogiczną analizę przeprowadzamy dla opornika $R_2$. Czas (w trakcie jednego okresu) w jakim przepływa przez opornik $R_2$ natężenie o maksymalnej wartości  $I_{{\text{max}}_2}$  jest taki sam jak dla opornika $R_1$. Zatem ciepło wydzielone na tym oporniku w trakcie jednego okresu opisuje wzór:

$Q_{x_2}=\frac{1}{2}{R}_2{I}_{{\text{max}}_2}^2{t}_x$  

Natomiast całkowite ciepło wydzielone na tym oporniku opisuje wzór:

$Q_2=n\cdot Q_{x_2}$  

$Q_2=\frac{t}{T}\cdot Q_{x_2}$  

$Q_2=\frac{t}{T}\cdot \frac{1}{2}{R}_2{I}_{{\text{max}}_2}^2{t}_x$  

$Q_2=\frac{1}{2}{R}_2{I}_{{\text{max}}_2}^2{t}_x\frac{t}{T}$  

Ciepło wydzielone w całym układzie jest sumą ciepła wydzielonego na oporniku $R_1$ oraz ciepła wydzielonego na oporniku $R_2$:

$Q=Q_1+Q_2$  

$Q=\frac{1}{2}{R}_1{I}_{{\text{max}}_1}^2{t}_x\frac{t}{T}+\frac{1}{2}{R}_2{I}_{{\text{max}}_2}^2{t}_x\frac{t}{T}$  

$Q=\frac{1}{2}\left(R_1{I}_{{\text{max}}_1}^2+R_2{I}_{{\text{max}}_2}^2\right)t_x\frac{t}{T}$  

Wstawiamy dane i obliczamy:

$Q=\frac{1}{2}\cdot \left(20\Omega \cdot {\left(0,3\text{A}\right)}^2+30\Omega \cdot {\left(0,2\text{A}\right)}^2\right)\cdot 0,02\text{s}\cdot \frac{10\text{s}}{0,04\text{s}}=$  

$=\frac{1}{2}\cdot \left(20\Omega \cdot 0,09{\text{A}}^2+30\Omega \cdot 0,04{\text{A}}^2\right)\cdot 0,02\text{s}\cdot 250=$  

$=\frac{1}{2}\cdot \left(1,8\Omega \cdot {\text{A}}^2+1,2\Omega \cdot {\text{A}}^2\right)\cdot 5\text{s}=$  

$=\frac{1}{2}\cdot 3\Omega \cdot {\text{A}}^2\cdot 5\text{s}=$  

$=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\Omega \cdot {\text{A}}^2\cdot \text{s}=7,5\text{J}$  

Odpowiedź: Ciepło wydzielone w całym obwodzie w czasie $10$ sekund wynosi $7,5\text{J}$.