Dane:

$x=10\text{cm}=0,1\text{m}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystam również z:

▶ stała elektryczna w próżni: $k=9\cdot 10^9\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$.

Szukane:

$Q=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie ładunki, jaki został zgromadzony na powierzchni przewodnika. Zgodnie z treścią zadania wzór na wartość natężenia pola ma postać:

$E=\frac{2k\rho }{r}$

gdzie:

$E$ - wartość natężenia pola elektrycznego,

$k$ - stała elektryczna,

$\rho$ - gęstość liniowa,

$r$ - odległość przewodnika.

Natomiast wzór na gęstość liniową przyjmuję postać:

$\rho =\frac{Q}{x}$

gdzie:

$\rho$ - gęstość liniowa,

$Q$ - ładunek,

$x$ - długość przewodnika.

Podstawiamy wzór na gęstość liniową do wzoru na wartość natężenia pola:

$E=\frac{2k\frac{Q}{x}}{r}$

$E=\frac{2kQ}{x}\frac{1}{r}$

Przekształcamy powyższy wzór tak, aby otrzymać wzór na ładunek $Q$:

$\frac{2kQ}{x}\frac{1}{r}=E|\cdot xr$

$2kQ=Exr|:2k$

$Q=\frac{Exr}{2k}$

Do wyznaczenia ładunku potrzebujemy dodatkowo odległości od przewodnika $r$ oraz wartości natężenia pola $E$ dla tej odległości. Odczytujemy odpowiednie dane z tabeli, przykładowo:

$r=0,2\text{cm}=0,002\text{m}$

$E=450\frac{\text{V}}{\text{m}}$

Wracamy do wzoru na ładunek i podstawiamy dane do wzoru:

$Q=\frac{450\frac{\text{V}}{\text{m}}\cdot 0,1\text{m}\cdot 0,002\text{m}}{2\cdot 9\cdot 10^9\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}}=$

$=\frac{4,5\cdot 10^2\cdot 10^{-1}\cdot 2\cdot 10^{-3}\frac{\text{V}}{\cancel{\text{m}}}\cdot \cancel{\text{m}}\cdot \text{m}}{18\cdot 10^9\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}}=$

$=\frac{4,5\cdot 2}{18}\cdot \frac{10^2\cdot 10^{-1}\cdot 10^{-3}}{10^9}\frac{\text{V}\cdot \text{m}}{\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}}=$

$=\frac{{\cancel{9}}^1}{{\cancel{18}}^2}\cdot \frac{10^2\cdot 10^{-4}}{10^9}\frac{\text{V}\cdot \xcancel{\text{m}}\cdot {\text{C}}^2}{\text{N}\cdot {\text{m}}^{{\xcancel{2}}^1}}=$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{10^{-2}}{10^9}\frac{\text{V}\cdot {\text{C}}^2}{\text{N}\cdot \text{m}}=$

$=0,5\cdot 10^{-11}\frac{\text{V}}{\text{N}\cdot \text{m}}\cdot {\text{C}}^2$

Teraz skupmy się na jednostkach. Zauważmy, że iloczynem niutona i metra jest dżul, czyli jednostka energii (np. pracy):

$1\text{N}\cdot 1\text{m}=1\text{J}$

Wówczas mamy:

$\frac{1\text{V}}{1\text{N}\cdot 1\text{m}}=\frac{1\text{V}}{1\text{J}}$

Natomiast stosunek dżula do wolta to kulomb, czyli jednostka ładunku:

$\frac{1\text{J}}{1\text{V}}=1\text{C}$

Jednak my mamy stosunek wolta do dżula, zatem:

$\frac{1\text{V}}{1\text{J}}=\frac{1}{\frac{1\text{J}}{1\text{V}}}=\frac{1}{1\text{C}}$

Wówczas mamy:

$Q=0,5\cdot 10^{-11}\frac{1}{\cancel{\text{C}}}\cdot {\text{C}}^{{\cancel{2}}^1}=$

$=0,5\cdot 10^{-11}\text{C}$

Możemy to również zapisać w innej formie:

$Q=5\cdot 10^{-1}\cdot 10^{-11}\text{C}=5\cdot 10^{-12}\text{C}=5\text{pC}$

Odpowiedź: Ładunek zgromadzony na powierzchni przewodnika wynosi $5\text{pC}$.