Dane:

$f=500\text{Hz}$

$l=20\text{m}$

$\Delta h=1\text{m}$

$v_{\text{dzˊ}}=340\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$f_{\text{min}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie minimalnej częstotliwości dźwięku, którą odbiera matka, gdzie źródłem dźwięku jest dziecko huśtające się na huśtawce, które zmienia swoje położenie względem matki.

Skoro źródło dźwięku, czyli dziecko na huśtawce, porusza się, to częstotliwość odbieranego dźwięku przez matkę zmienia się zgodnie z efektem Dopplera. 

Częstotliwość odbierana przez obserwatora (matkę) - efekt Dopplera 

Zjawisko polegające na powstawaniu różnicy częstotliwości wysyłanej przez źródło oraz rejestrowanej przez obserwatora nazywamy efektem Dopplera. Wzór opisujący tę zależność ma postać:

$f=f_0\frac{v\pm v_o}{v\mp v_{\acute{z}}}$

gdzie: 

$f$ - częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora, 

$f_0$ - częstotliwość fali wysyłanej przez źródło,  

$v$ - szybkość fali (w danym ośrodku),  

$v_o$ - szybkość, z jaką zbliża (+) / oddala (-) się obserwator do źródła,  

$v_{\acute{z}}$ - szybkość, z jaką zbliża (-) / oddala (+) się źródło do obserwatora.

Prędkości źródła i obserwatora są określane względem ośrodka. Górne znaki prędkości we wzorach oznaczają przypadek, gdy są one skierowane ku sobie, a dolne dotyczą sytuacji, w której mają odwrotne zwroty.

Dziecko, w trakcie huśtania, na przemian zbliża się do obserwatora (matki) i oddala od niego. Matka, zgodnie z treścią zadania i rysunkiem, spoczywa w stałej odległości od środka huśtawki.  W związku z tym, w naszym przypadku, należy zastosować wzór na częstotliwość dla poruszającego się źródła i nieruchomego odbiorcy. Wówczas wzór na częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora przyjmie postać:

$f=f_0\frac{v}{v\mp v_{\text{zˊ}}}$

Zadaniem naszym jest wyznaczenie minimalnej częstotliwości dźwięku, którą odbiera obserwator (matka). Z powyższego wzoru wynika, że aby częstotliwość była najmniejsza, to mianownik musi być największy. Zapiszemy więc:

$f_{\min }=f_0\frac{v}{v+v_{\text{zˊ}}}$

Oznacza to, że częstotliwość dźwięku, którą odbiera matka, będzie minimalna, gdy dziecko na huśtawce będzie się oddalać od matki z prędkością o wartości $v_{\text{zˊ}}$.

Teraz przechodzimy do wyznaczenia wartości prędkości, z jaką porusza się dziecko.

 Ruch dziecka

Dziecko huśta się, czyli porusza się po łuku koła o promieniu równym odległości między środkiem koła a środkiem ciężkości dziecka. Położenie dziecka względem ziemi, w trakcie huśtania, się zmienia. W treści zadania mamy powiedziane, że maksymalna różnica wysokości, na której znajduje się dziecko, wynosi $\Delta h$. Jeżeli w najniższym położeniu dziecko znajduje się na wysokości $h_0$ względem ziemi, a w najwyższym położeniu znajduje się na wysokości $h$, to wówczas zapiszemy:

$\Delta h=h-h_0$

W trakcie huśtania dziecko zmienia swoją prędkości:

• w najwyższym położeniu prędkość dziecka wynosi $v_{\text{najw}}=0$,
• w najniższym położeniu dziecko porusza się z prędkością o wartości $v_{\text{najn}}=v_{\max }$.

W najwyższym punkcie dziecko ma największą energię potencjalną a zerową energię kinetyczną, natomiast w najniższym punkcie dziecko ma zerową energię potencjalną (względem najniższego położenia), a największą energię kinetyczną. W trakcie ruchu zgodnie z zasadą zachowania energii energia potencjalna zamieniana jest na energię kinetyczną i odwrotnie. Zapiszemy więc:

$E_{k.\max }=E_{p.\max }$

gdzie:

$E_{k.\max }$ - maksymalna energia kinetyczna,

$E_{p.\max }$ - maksymalna energia potencjalna.

Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_p=mgh$ 

gdzie:

$E_p$  - energia potencjalna ciała,

$m$ - masa ciała, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy. 

W naszym przypadku powyższy wzór przyjmie postać:

$E_{p.\max }=mg\Delta h$

Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna ciała, 

$m$ - masa ciała, 

$v$ - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

W naszym przypadku zapiszemy:

$E_{k.\max }=\frac{m{v}_{\max }^2}{2}$

Wracamy do warunku równości energii potencjalnej i kinetycznej:

$E_{k.\max }=E_{p.\max }$

$\frac{m{v}_{\max }^2}{2}=mg\Delta h|:m$

$\frac{v_{\max }^2}{2}=g\Delta h|\cdot 2$

$v_{\max }^2=2g\Delta h|\sqrt{}$

$v_{\max }=\sqrt{2g\Delta h}$

Wracamy do wzoru na częstotliwość fali dźwiękowej, którą odbiera matka, przyjmując prędkość dźwięku w powietrzu jako $v_{\text{dzˊ}}$:

$f_{\min }=f_0\frac{v_{\text{dzˊ}}}{v_{\text{dzˊ}}+v_{\max }}$

$f_{\min }=f_0\frac{v_{\text{dzˊ}}}{v_{\text{dzˊ}}+\sqrt{2g\Delta h}}$

Podstawiamy dane i obliczamy:

$f_{\min }=500\text{Hz}\cdot \frac{340\frac{\text{m}}{\text{s}}}{340\frac{\text{m}}{\text{s}}+\sqrt{2\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1\text{m}}}=$

$=500\text{Hz}\cdot \frac{340\frac{\text{m}}{\text{s}}}{340\frac{\text{m}}{\text{s}}+\sqrt{20\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}}=$

$\approx 500\text{Hz}\cdot \frac{340\frac{\text{m}}{\text{s}}}{340\frac{\text{m}}{\text{s}}+4,5\frac{\text{m}}{\text{s}}}=$

$=500\text{Hz}\cdot \frac{340\cancel{\frac{\text{m}}{\text{s}}}}{344,5\cancel{\frac{\text{m}}{\text{s}}}}=$

$\approx 500\text{Hz}\cdot 0,987=$

$=493,5\text{Hz}\approx 494\text{Hz}$

Odpowiedź: Minimalna częstotliwość wynosi około $494\text{Hz}$.