Naszym zadaniem jest obliczenie stosunku $\frac{r_2}{r_1}$ odległości punktowych źródeł fal od punktu X przy założeniu, że amplitudy fal wynoszą odpowiednio:

$A_1=A$

$A_2=\frac{1}{2}A$

Aby wyznaczyć stosunek $\frac{r_2}{r_1}$ odległości źródeł fal musimy znać zależność odległości od amplitudy fal, ponieważ jedynie tą wielkość znamy. W pierwszej kolejności zwróćmy uwagę na natężenie fal, które są emitowane przez punktowe źródło.

NATĘŻENIE FALI Dźwięk emitowany przez źródło ma postać fal kulistych. Wówczas dla punktowego źródła dźwięku natężenie emitowanej fali kulistej obliczymy z zależności: $I=\frac{P}{4\pi r^2}$ gdzie: $I$ - natężenie fali kulistej, $P$ - moc źródła fali, $\pi$ - liczba π (pi), $r$ - odległość od źródła fali.

Teraz przypomnijmy definicję mocy.

MOC Moc możemy zdefiniować jako ilość pracy wykonanej w danym czasie, czyli: $P=\frac{W}{t}$ gdzie: $P$ - moc, $W$ - praca, jaka została wykonana,  $t$ - czas, w jakim wykonano pracę.

Moc, w przypadku fali, możemy zdefiniować również jako energię przekazywaną w jednostce czasu:

$P=\frac{E}{t}$

gdzie:

$E$ - energia fali.

RUCH DRGAJĄCY - ENERGIA CAŁKOWITA Całkowitą energię w ruchu drgającym wyznaczymy z zależności: $E=\frac{1}{2}k{A}^2$ gdzie: $E$ - całkowita energia mechaniczna ciała drgającego, $k$ - współczynnik sprężystości,  $A$ - amplituda drgań ciała.

Jeżeli więc natężenie fali jest wprost proporcjonalne do mocy źródła fali ($I\sim P$), moc źródła fali jest proporcjonalna do energii ($P\sim E$), a energia jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy drgań, to natężenie fali jest wprost proporcjonalne do energii:

$I\sim E$

Zatem:

$\frac{P}{4\pi r^2}\sim \frac{1}{2}k{A}^2$

Pomijając wielkości stałe otrzymujemy:

$\frac{1}{r^2}\sim A^2$

Otrzymujemy więc, że odległość od źródła fali jest odwrotnie proporcjonalna do amplitudy:

$r\sim \frac{1}{A}$

gdzie:

$r$ - odległość od źródła fali, 

$A$ - amplituda. 

Z treści zadania wiemy, że:

$A_1=A$

$A_2=\frac{1}{2}A$

gdzie:

$A_1$ - amplituda pierwszej fali kulistej w punkcie X, 

$A_2$ - amplituda drugiej fali kulistej w punkcie X, 

$A$ - jednostka amplitudy. 

Odległość od źródeł fali będzie wówczas spełniała zależność:

$r_1=\frac{1}{A_1}$

$r_2=\frac{1}{A_2}$

gdzie:

$r_1$ - odległość pierwszego źródła fali od punktu X, 

$r_2$ - odległość drugiego źródła fali od punktu X. 

Zatem stosunek tych odległości będzie miał postać:

$\frac{r_2}{r_1}=\frac{\frac{1}{A_2}}{\frac{1}{A_1}}$

$\frac{r_2}{r_1}=\frac{1}{A_2}:\frac{1}{A_1}$

$\frac{r_2}{r_1}=\frac{1}{A_2}\cdot \frac{A_1}{1}$

$\frac{r_2}{r_1}=\frac{A_1}{A_2}$

Podstawiamy znane wielkości:

$\frac{r_2}{r_1}=\frac{\bcancel{A}}{\frac{1}{2}\bcancel{A}}$

$\frac{r_2}{r_1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}$

$\frac{r_2}{r_1}=2$

Stosunek odległości źródeł fal od punktu X wynosi $2$.