Dane:

$m=20\text{kg}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$ . 

Szukane:

$F=?$

Rozwiązanie:

Rysunek pomocniczy do zadania:

gdzie:

$\overrightarrow{F}$   - siła z jaką jest ciągnięta lina,

${\overrightarrow{F}}_g$   - siła ciężkości deski.

Siła ciężkości jest przyłożona w połowie długości deski, wynoszącej $l$  .

 

Z rysunku do zadania wynika, że:

$\beta ={90}^{\circ }-\alpha$

$\delta =\beta ={90}^{\circ }-\alpha$  

$\gamma ={180}^{\circ }-\beta ={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }-\alpha \right)={180}^{\circ }-{90}^{\circ }+\alpha ={90}^{\circ }+\alpha$   

 

Momentem siły $\overrightarrow{F}$  działającym w punkcie obrotu nazywamy wielkość wektorową $\overrightarrow{M}$  zdefiniowaną jako iloczyn wektorowy wektora ramienia siły i wektora siły $\overrightarrow{F}$ :

$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$  

gdzie:

$\overrightarrow{M}$   - moment siły,

$\overrightarrow{r}$  - wektor ramienia siły,

$\overrightarrow{F}$  - wektor siły. 

Wartość momentu siły będzie miała postać:

$M=rF\sin \alpha$  

gdzie:

$\alpha$ - kąt pomiędzy wektorami $\overrightarrow{r}$  i $\overrightarrow{F}$ .

 

Zapiszmy wartości momentów sił działających na podnoszoną deskę.

$M_F=l\cdot F\cdot \sin \delta$

$M_g=\frac{1}{2}l\cdot F_g\cdot \sin \gamma$   

 

Korzystając z wzorów redukcyjnych mamy:

$\sin \delta =\sin \left({90}^{\circ }-\alpha \right)=\cos \alpha$    

$\sin \gamma =\sin \left({90}^{\circ }+\alpha \right)=\cos \alpha$    

 

Zatem:

$M_F=l\cdot F\cdot \cos \alpha$

$M_g=\frac{1}{2}l\cdot F_g\cdot \cos \alpha$   

 

Deska jest podnoszona przez pracownika i w każdym momencie podnoszenia dla danego kąta podniesienia jest stabilnie podtrzymywana, czyli w każdym momencie podnoszenia działające na deskę momenty sił równoważą się.  W celu wyznaczenia wartości siły działającej na linę zapisujemy równość wartości przeciwdziałających sobie momentów sił dla dowolnego kąta podniesienia $\alpha$:

$M_F=M_g$  

$l\cdot F\cdot \cos \alpha =\frac{1}{2}l\cdot F_g\cdot \cos \alpha$  

$l\cdot F=\frac{1}{2}l\cdot F_g$  

$F=\frac{1}{2}{F}_g$  

 

Siłę ciężkości deski wyrazimy jako:

$F_g=mg$

gdzie:

$m$   - masa deski,

$g$   - wartość przyspieszenia ziemskiego.

 

Stąd:

$F=\frac{1}{2}mg$  

Obliczmy szukaną wartość siły:

$F=\frac{1}{2}\cdot 20\text{kg}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=98,1\text{N}$  

Odpowiedź: Wartość siły, z jaką pracownik działał na linę, gdy deska tworzyła z poziomym podłożem kąt 25° wynosiła 98,1 N.