Treść: 

Zadanie 5.

Ustaloną masę jednoatomowego gazu doskonałego poddano przemianie izotermicznej 𝒜 ze stanu X do stanu Y, po czym gaz doprowadzono z powrotem do stanu X. Następnie ten gaz poddano przemianie ℬ, podczas której ciśnienie malało liniowo wraz z objętością, od stanu X do stanu Y.

W każdej z przemian 𝒜 i ℬ użyto n = 0,0020 mola gazu doskonałego. Iloczyn ciśnienia i objętości w stanie X miał wartość  p₁⋅V₁ = 6,0 J. Na wykresie, w układzie współrzędnych (V, p), przedstawiono przebieg zależności ciśnienia p od objętości V gazu w obu przemianach.

Zadanie 5.2.

W końcowej części przemiany ℬ ciepło jest oddawane do otoczenia. Przyjmij, że wartość tego ciepła wynosi w zaokrągleniu |Q_{B odd}|≈ 0,094 J.

Oblicz Q_{B pob} – ciepło pobrane przez gaz z otoczenia w pozostałej części przemiany 𝓑.

---

 Rozwiązanie: 

Dane:

$n=0,020\text{mola}$  

$p_1{V}_1=6,0\text{J}$  

$\left|Q_{\text{B odd}}\right|\approx 0,094\text{J}$  

Szukane:

$\left|Q_{\text{B pob}}\right|=?$  

Rozwiązanie:

Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki możemy zapisać, że dla przemiany B spełnione jest równanie:

$\Delta U_{\text{B}}=Q_{\text{B}}+W_{\text{B}}$  

gdzie:

$\Delta U_{\text{B}}$  - zmiana energii wewnętrznej w przemianie B, 

$W_{\text{B}}$  - praca wykonana w przemianie B, 

$Q_{\text{B}}$  - ciepło wymienione z otoczeniem w tej przemianie. 

 Energia wewnętrzna 

Zmiana energii wewnętrznej gazu doskonałego zależy od zmiany temperatury i jest do niej wprost proporcjonalna:

$\Delta U_{\text{B}}\sim \Delta T_{\text{B}}$  

Wiemy z wykresu, że skoro przemiana A była izotermiczna to w punktach X i Y temperatura była taka sama:

$T_X=T_Y$  

Zatem zmiana temperatury w przemianie B ma postać:

$\Delta T_{\text{B}}=T_Y-T_X$   

$\Delta T_{\text{B}}=T_Y-T_Y$   

$\Delta T_{\text{B}}=0$   

Z tego wynika, że również zmiana energii wewnętrznej tego gazu w przemianie jest zerowa:

$\Delta U_{\text{B}}=0$  

 Praca 

Z wykresu wynika, że objętość gazu wzrasta, czyli to gaz wykonuje w tej przemianie pracę, którą możemy obliczyć jako pole pod wykresem zależności ciśnienia od objętości:

$W<0$  

Zauważmy, że pole to tworzy trapez:

Wówczas:

$W_{\text{B}}=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}$  

gdzie:

$a=p_1$  

$b=0,5p_1$  

$h=2V_1-V_1=V_1$  

Z tego wynika, że:

$W_{\text{B}}=\frac{\left(p_1+0,5p_1\right)\cdot V_1}{2}$  

$W_{\text{B}}=\frac{1,5p_1{V}_1}{2}$  

$W_{\text{B}}=0,75p_1{V}_1$  

 Ciepło wymienione z otoczeniem

W całej przemianie gaz pobiera i oddaje ciepło do otoczenia, czyli całkowite ciepło wymienione z otoczeniem będzie sumą ciepła pobranego i oddanego do otoczenia.

$Q_{\text{B}}=Q_{\text{B pob}}+Q_{\text{B odd}}$  

Ponadto:

$Q_{\text{B pobr}}\text{ > }0$  

$Q_{\text{B odd}}\text{ > }0$  

Wówczas:

$Q_{\text{B}}=Q_{\text{B pob}}-Q_{\text{B odd}}$  

Z powyższych zależności wynika, że I zasada termodynamiki dla tej przemiany będzie miała postać:

$0=Q_{\text{B}}-W_{\text{B}}$  

$0=Q_{\text{B pob}}-Q_{\text{B odd}}-W_{\text{B}}\mid +W_{\text{B}}+Q_{\text{B odd}}$  

$W_{\text{B}}+Q_{\text{B odd}}=Q_{\text{B pob}}$  

$Q_{\text{B pob}}=W_{\text{B}}+Q_{\text{B odd}}$  

$Q_{\text{B pob}}=0,75p_1{V}_1+\left|Q_{\text{B odd}}\right|$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_{\text{B pob}}\approx 0,75\cdot 6,0\text{J}+0,094\text{J}=4,5\text{J}+0,094\text{J}=4,594\text{J}\approx 4,6\text{J}$  

Odpowiedź: Ciepło pobrane przez gaz z otoczenia wynosi około 4,6 J.