Treść: 

Zadanie 4.

Satelita S_A krąży dookoła Ziemi po orbicie kołowej A o promieniu r_A, a satelita S_B krąży dookoła Ziemi po orbicie kołowej B o promieniu r_B. Oba satelity mają wyłączone silniki i poruszają się jedynie pod wpływem siły grawitacji Ziemi. Masy obu satelitów są jednakowe.

Orbity A i B leżą w jednej płaszczyźnie. Okres obiegu satelity S_A po orbicie jest równy 𝑇_𝐴 = 2,0 h, a okres obiegu satelity S_B po orbicie jest równy 𝑇_𝐵 = 12 h.

W zadaniach 4.1.–4.4.:

• pomijamy oddziaływanie obu satelitów z innymi ciałami niebieskimi

• przyjmujemy, że energie potencjalne dążą do zera w nieskończoności.

Informacja do zadań 4.3.–4.4.

Satelita S_A wykonuje manewr przejścia z orbity A na orbitę B. W czasie tego manewru w punkcie A włączono na krótki czas silniki i zmieniono wartość prędkości satelity S_A. Dalej satelita poruszał się z wyłączonymi silnikami po fragmencie orbity eliptycznej do punktu B. Gdy satelita dotarł do punktu B, to ponownie włączono na krótki czas silniki i zmieniono wartość prędkości satelity. Dalej satelita S_A poruszał się swobodnie po orbicie B.

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment toru ruchu satelity S_A po obu orbitach kołowych i podczas przejścia pomiędzy orbitami. Orbita eliptyczna jest styczna do orbit A i B w punktach A i B. Przyjmij, że zmiany prędkości satelity odbywały się na krótkich (relatywnie) fragmentach toru, które można pominąć.

Zadanie 4.4.

Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć W_AB – pracę siły ciągu silników podczas przejścia satelity z orbity A na orbitę B – w zależności od: r_A, r_B, masy Ziemi M_Z, masy satelity m oraz stałej grawitacyjnej G.

Uwaga: Pomijamy zmianę masy satelity podczas działania silników.

 

---

 Rozwiązanie: 

Praca siły ciągu silnika podczas przejścia satelity z orbity A na B będzie różnicą pomiędzy energią mechaniczną, jaką satelita musiała uzyskać na orbicie B oraz energią mechaniczną, jaką satelita posiadała na orbicie A:

$W_{\text{AB}}=E_{\text{mechB}}-E_{\text{mechA}}$  

Energia mechaniczna na każdej z tych orbit będzie sumą energii potencjalnych oraz kinetycznych:

$E_{\text{mechA}}=E_{\text{potA}}+E_{\text{kinA}}$