Dwa błyski światła wysłano...- Zadanie 16.7: Fizyka 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorem de Broglie'a długość fali $λ$ jest związana z pędem cząstki:

$λ = \frac{h}{p}$

$p - warto \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} p ę du$

$h - sta ł a Plancka$

Prędkość fotonów $c$ wyrazimy jako:

$c = λ ν \Rightarrow λ = \frac{c}{ν}$

Zatem:

$\frac{c}{ν} = \frac{h}{p}$

$p c = h ν$

$p = \frac{h ν}{c}$

Pęd układu dwóch wiązek $n$ fotonów poruszających się w przeciwne strony będzie równy różnicy pędów tych wiązek.

Pęd pierwszej wiązki:

$p_{1} = \frac{n _{1} h ν _{1}}{c}$

Pęd drugiej wiązki:

$p_{2} = \frac{n _{2} h ν _{2}}{c}$

Pęd układu:

$p_{u} = p_{1} - p_{2} = \frac{n _{1} h ν _{1}}{c} - \frac{n _{2} h ν _{2}}{c} = \frac{h}{c} (n_{1} ν_{1} - n_{2} ν_{2})$

Energię całkowitą $E_{c}$ fotonu wyrażamy jako:

$E_{c} = h ν$

$h - sta ł a Plancka$

$ν - cz ę stotliwo \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} promieniowania$

Korzystając z zależności:

$p c = h ν$

Zapisujemy:

$ν = \frac{p c}{h}$

Zatem:

$E_{c} = h \cdot \frac{p c}{h} = p c$

Zatem dla układu fotonów ich energię wyrazimy jako sumę energii każdej z wiązek:

$E_{u} = E_{1} + E_{2}$

$E_{u} = p_{1} c + p_{2} c = \frac{n _{1} h ν _{1}}{c} \cdot c + \frac{n _{2} h ν _{2}}{c} \cdot c = n_{1} h ν_{1} + n_{2} h ν_{2} = h (n_{1} ν_{1} + n_{2} ν_{2})$

Korzystamy ze wzoru wiążącego energię całkowitą układu cząstek z ich pędem:

$E_{u}^{2} = p_{u}^{2} c^{2} + m_{u}^{2} c^{4}$

$E_{u} - energia ca ł kowita uk ł adu cz ą stek$

$p_{u} - warto \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} p ę du uk ł adu cz ą stek$

$c - pr ę dko \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} \overset{s}{ˊ} wiat ł a$

$m_{u} - masa uk ł adu cz ą stek$

Wyznaczmy zależność na masę cząstek:

$m_{u}^{2} c^{4} = E_{u}^{2} - p_{u}^{2} c^{2}$

$m_{u}^{2} = \frac{E _{u}^{2}}{c ^{4}} - \frac{p _{u}^{2}}{c ^{2}}$

$m_{u} = \frac{E _{u}^{2}}{c ^{4}} - \frac{p _{u}^{2}}{c ^{2}}$

Podstawmy za $E_{u}$ i $p_{u}$ wyznaczone wcześniej wyrażenia:

$m_{u} = \frac{( h ( n _{1} ν _{1} + n _{2} ν _{2} ) ) ^{2}}{c ^{4}} - \frac{( \frac{h}{c} ( n _{1} ν _{1} - n _{2} ν _{2} ) ) ^{2}}{c ^{2}} = \frac{h ^{2} ( n _{1} ν _{1} + n _{2} ν _{2} ) ^{2}}{c ^{4}} - \frac{\frac{h ^{2}}{c ^{2}} ( n _{1} ν _{1} - n _{2} ν _{2} ) ^{2}}{c ^{2}} = \frac{h ^{2} ( n _{1} ν _{1} + n _{2} ν _{2} ) ^{2}}{c ^{4}} - \frac{h ^{2} ( n _{1} ν _{1} - n _{2} ν _{2} ) ^{2}}{c ^{4}} = \frac{h}{c ^{2}} (n_{1} ν_{1} + n_{2} ν_{2})^{2} - (n_{1} ν_{1} - n_{2} ν_{2})^{2} = \frac{h}{c ^{2}} n_{1}^{2} ν_{1}^{2} + 2 n_{1} n_{2} ν_{1} ν_{2} + n_{2}^{2} ν_{2}^{2} - (n_{1}^{2} ν_{1}^{2} - 2 n_{1} n_{2} ν_{1} ν_{2} + n_{2}^{2} ν_{2}^{2}) = \frac{h}{c ^{2}} n_{1}^{2} ν_{1}^{2} + 2 n_{1} n_{2} ν_{1} ν_{2} + n_{2}^{2} ν_{2}^{2} - n_{1}^{2} ν_{1}^{2} + 2 n_{1} n_{2} ν_{1} ν_{2} - n_{2}^{2} ν_{2}^{2} = \frac{h}{c ^{2}} 4 n_{1} n_{2} ν_{1} ν_{2} = \frac{2 h}{c ^{2}} n_{1} n_{2} ν_{1} ν_{2}$